UNIWERSYTET WARMIŃSKO

-MAZURSKI

KATEDRA FIZYKI

ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI

(CZĘŚĆ TEORETYCZNA)

Temat: Wyznaczanie logarytmicznego

dekrementu tłumienia

Mariusz Stankiewicz

Para 7

II MiBM

W przyrodzie i technice zachodzą często przypadki, w których okresowa siła zewnętrzna działająca na oscylator kompensuje siłę tłumiącą i układ znajduje się w stanie drgań niegasnących o stałej amplitudzie. Drgania, które powstają w tych zjawiskach, nazywamy drganiami wymuszonymi. Mają one częstość taką, z jaką działa siła zewnętrzna, a nie taką, jaka jest częstość własna ciała. Jednak reakcja ciała zależy od stosunku, jaki zachodzi pomiędzy częstością wymuszoną a częstością własną.

Równanie ruchu dla oscylatora o wymuszonej częstości drgań wynika z drugiej zasady dynamiki. Prócz siły -kx sprowadzającej ciało drgające do położenia równowagi i siły tłumienia -bdx/dt występuje jeszcze okresowa siła zewnętrzna.

Załóżmy, że siła wymuszająca jest opisana równaniem F=F₀cosWt.

Z równania F=ma otrzymujemy

Obie strony równania dzielimy przez m. i podstawiamy

gdzie jest tzw. współczynnikiem tłumienia.

Otrzymujemy równanie

Rozwiązaniem tego równania jest

W tym rozwiązaniu można również wyróżnić część fazową (gdzie jest przesunięciem fazowym między siłą wymuszającą i wychyleniem x ) i część amplitudową .Jeśli częstość wymuszająca zbliża się do nietłumionej częstości własnej, tzn. gdy , pierwiastek w mianowniku

a cały ułamek (czyli amplituda) .W rzeczywistości zawsze występuje tłumienie, tak że amplituda drgań, chociaż może stać się bardzo duża, pozostaje jednak w praktyce wielkością skończoną..

Amplituda drgań ma dla pewnej wartości maksimum. Zjawisko to nazywamy rezonansem.

W celu znalezienia częstości rezonansowej obliczamy pochodną względem częstości z mianownika części amplitudowej i przyrównujemy do zera.

Otrzymujemy

Otrzymana zależność oznacza, że częstotliwość rezonansowa nieznacznie maleje ze wzrostem tłumienia.

Dla częstości rezonansowej amplituda drgań osiąga maksimum równe

Z tego wzoru wynika, że dla niezbyt silnego tłumienia, , maksymalna amplituda jest odwrotnie proporcjonalna do współczynnika tłumienia.

Gdyby nie było tłumienia (), to amplituda rezonansowa byłaby nieskończenie wielka. Nie dzieje się tak, gdyż w takim przypadku drgania przestają być małe, a zatem wykraczają poza przytoczoną powyżej teorię. Oprócz tego w praktyce zawsze występuje jakieś tłumienie i .