Proste zastosowania mechaniki kwantowej

Cząstka swobodna

Cząstka swobodna to obiekt o masie m poruszający się swobodnie.

Termin „swobodna” oznacza, że na cząstkę nie działa żaden potencjał.

Całkowita energia cząstki (E) jest sumą energii kinetycznej (T) i potencjalnej (V), wobec tego:

E = T + V , ale ponieważ (dla cząstki swobodnej) V = 0 , to E = T

Dla uproszczenia rozpatrujemy przypadek jednowymiarowy, czyli cząstkę o masie m poruszającą się wzdłuż osi x

Energia kinetyczna (a zarazem całkowita) tego układu jest dana przez

gdyż

Operator Hamiltona dla takiego wyrażenia na energię ma postać:

(dowód na ćwiczeniach), natomiast równanie Schrödingera dla cząstki swobodnej jest następujące:

Pomnóżmy to równanie obustronnie przez
, otrzymamy wówczas:

Przenosząc następnie prawą stronę i podstawiając k_n² = 2m E_n / ħ²

otrzymujemy

Okazuje się, iż rozwiązaniem powyższego równania są funkcje

φ₊=N₊ exp(ik_n x) oraz φ_-=N_- exp(-ik_n x) , natomiast rozwiązaniem ogólnym jest ich liniowa kombinacja, czyli

ψ_n = a₁ N₊ exp(ik_n x)+a₂ N_- exp(-ik_n x)

Współczynniki normalizacyjne N₊ i N_- można łatwo wyznaczyć z warunku normalizacyjnego funkcji ψ_n (jeżeli założymy, że cząstka może się poruszać w ograniczonym obszarze (patrz podręcznik Kołosa).

Funkcja falowa dla cząstki swobodnej reprezentuje falę materii (falę de Broglie'a), co można wykazać porównując wyrażenie na ψ_n z równaniem fali znanym z fizyki.

Można sprawdzić (dowód na ćwiczeniach), że operator Hamiltona dla cząstki swobodnej komutuje z operatorem pędu oraz z operatorem kwadratu pędu (czyli
oraz
).

Ponieważ operatory przemienne posiadają wspólne funkcje własne (dowód na ćwiczeniach), to funkcje własne hamiltonianu (φ₊ oraz φ_-) są także funkcjami własnymi operatora pędu i operatora kwadratu pędu, czyli zapisujemy:

oraz

Po wstawieniu operatora pędu (lub kwadratu pędu) do tych równań i zróżniczkowaniu (patrz ćwiczenia) otrzymamy następujące wartości własne dla pędu:

p_x =    ħk_n (w przypadku funkcji φ₊) oraz

p_x = - ħk_n (w przypadku funkcji φ_-).

Dla kwadratu pędu otrzymujemy natomiast następujące wartości własne (patrz ćwiczenia):

p_x² =  ħ²k_n² (w przypadku funkcji φ₊) oraz

p_x² = ħ²k_n² (w przypadku funkcji φ_-).

W obu stanach (φ₊ oraz φ_-) wartość własna operatora kwadratu pędu jest jednakowa, natomiast wartości własne operatora pędu różnią się znakiem.

Interpretacja: funkcja φ₊ opisuje stan cząstki poruszającej się w dodatnim kierunku osi x, natomiast funkcja φ_- opisuje stan cząstki poruszającej się w ujemnym kierunku osi x.

Cząstka w pudle potencjału

(inaczej: cząstka w studni potencjału o nieskończonej głębokości)

Cząstka poruszająca się w pewnej ograniczonej przestrzeni

(obszar jest ograniczony barierą potencjału o nieskończonej wysokości, przez którą cząstka nie może się przedostać)

Rozpatrujemy (dla uproszczenia) przypadek jednowymiarowy (kierunek x). Rozmiar pudła: od x=0 do x=L

Energia potencjalna (V) cząstki wynosi:

W obrębie pudła cząstka porusza się swobodnie (nie działa na nią żaden potencjał). Obszar gdzie V=∞ jest dla niej niedostępny.

W obszarze dla cząstki niedostępnym, funkcja falowa układu ψ = 0

Wewnątrz pudła ψ ≠ 0, ale ponieważ funkcja ψ musi być ciągła, to musi ona znikać na brzegach (krańcach) pudła, czyli dla x=0 oraz dla x=L (są to tzw. warunki brzegowe)

Wewnątrz pudła cząstka zachowuje się tak, jak cząstka swobodna, a więc rozwiązaniem równania Schrödingera jest funkcja

ψ_n = a₁ N₊ exp(ik_n x)+a₂ N_- exp(-ik_n x)

Sprowadzenie równania do postaci rzeczywistej (wzory Eulera) i nałożenie dodatkowych warunków (brzegowych) oraz normalizacja prowadzi ostatecznie do

funkcji falowej dla cząstki w jednowymiarowym pudle potencjału:

(gdzie (2/L)^½ jest współczynnikiem normalizacyjnym, który zależy od rozmiaru pudła potencjału).

Rozwiązanie ψ_n oraz warunki brzegowe (znikanie ψ_n dla x=0 i x=L) są dla cząstki w pudle identyczne jak w przypadku drgającej struny, zamocowanej w punktach x=0 i x=L.

Znikanie funkcji ψ_n dla x=0 jest spełnione gdyż sin(nπx/L)=0 dla x=0.

Aby funkcja ψ_n znikała również dla x=L musi być sin(nπL/L)=0,

a więc sin(nπ)=0, co jest prawdziwe tylko dla n=1, 2, 3,...

Pamiętając, że k_n² = 2m E_n / ħ² (tak, jak dla cząstki swobodnej), otrzymujemy wyrażenie na energię całkowitą cząstki w pudle:

a ponieważ dla drgającej struny funkcja falowa jest następująca: φ_n=A∙sin(k_n x), więc czynnik k_n²=(nπ/L)².

Wobec tego:

Energia cząstki w pudle jest więc skwantowana (może przyjmować tylko określone wartości), w przeciwieństwie do energii cząstki swobodnej.

Kwantowanie energii jest w tym przypadku (oraz w wielu innych sytuacjach) konsekwencją uwzględnienia warunków brzegowych.

Wykorzystując wzór na energię cząstki w pudle można znaleźć odpowiednie wartości liczbowe (E₁, E₂, E₃, itd.), czyli poziomy energetyczne, oraz stwierdzić, że odstępy między poziomami energetycznymi maleją wraz ze wzrostem rozmiarów pudła.

W granicy, kiedy rozmiar pudła dąży do nieskończoności (L→∞),

odstępy między poziomami energetycznymi dążą do zera, czyli dyskretne widmo energii przechodzi w widmo ciągłe.

Widmo ciągłe energii (czyli brak kwantowania) jest charakterystyczne dla cząstki swobodnej, co jest zrozumiałe, gdyż rozsunięcie do nieskończoności ścian pudła (L→∞) prowadzi do „oswobodzenia” uwięzionej w nim cząstki.

(Wykresy funkcji falowych dla cząstki w pudle - patrz podręcznik Kołosa).

41

---