Rachunek procentów.

1%=1/100

p procent liczby a

p% a 1/100 =b

p%= b/a100=b/(a/100)

Przykłady.

1-Z pensji w wysokości 700zł potrącono 30%. Ile zł potrącono?

b= 700*0,3 =210 zł

2-W pewnym przedsiębiorstwie pensja pracownika wzrosła o 180 zł co stanowiło 30 % poprzedniej płacy. Ile wynosiła poprzednia płaca?

a= b*100/p =(180*100)/30 =600

3-Roczny plan obrotów pewnego przedsiębiorstwa wynosi 10 tyś. W pierwszym kwartale osiągnięto obrót o wysokości 4 mln. zł. W ile % wykonano plan w pierwszym kwartale?

p= (4/10)*100 =40%

Rachunek procentowy „od sta” i „od stu”.

1-W pewnej hurtowni dokonano zakupu towarów na kwotę 20 tyś. Kwota ta zawiera marżę 10%. Ustalić kwotową marżę oraz kwotę, od której naliczono marżę.

20000/(100% +10%) *10 =1818,18 (kwota marżowa)

20000/(100%+10%) *100 =18181,82

2-Po 30% podwyżce cen TV kosztuje 1200 zł. Ustalić poprzednią cenę TV i

kwotę podwyżki.

1200/(100+30) *100=923,08

1200/(100+30)*30=276,92

3-Wydawnictwo przyznało księgarni rabat w wysokości 15%. Jaka jest cena katalogowa książki i kwotowa wartość rabatu jeśli za książkę zapłacono 9 zł?

9zł/(100-15)*15=1,59

9/(100-15)*100=10,59

4-Koszt własny wyrobu akcyzowego wynosi 20 zł, a zysk producenta wkalkulowany w cenę sprzedaży stanowi 10% kosztu własnego. Stopa procentowa podatku akcyzowego wynosi 40%. Oblicz kwotę podatku akcyzowego.

20*10%=2

(20+2)/(100-40) *100=36,67

(36,67/100)*40=14,67

skonto- ustępstwo udzielone temu odbiorcy, który reguluje bezzwłocznie należność mimo, że ma prawo z odroczeniem płatności

Sposoby doliczania odsetek.

oprocentowanie proste

Fo- fundusz 0, p- na p%, Fn- fundusz po n latach

!!Fn= Fo(1+np)=Fo+nFop!!

Zadania.

1-5000 leżało sobie przez 3 lata w banku, a oprocentowanie było proste i wynosiło 4%. Ile było po 3 latach?

F₃=Fo(1+np)=5000(1+3*4%)=5600

2-Po dwóch latach pewna kwota położona w banku wynosiła 784000. p=6%. Ile wynosiła kwota początkowa?

Fo=Fn/(1+np)=F2/(1+2*6)=784000/1,12=700000

3-Kwota 2000 zł w banku była oprocentowana na 5% i po pewnym czasie wypłacono odsetki w wysokości 500 zł. Obliczyć ten czas.

Fo=2000, p=5%, Fn-Fo=500 zł

n=(Fn-Fo)/Fop=500/(2000*0,05)=5

4-Fo=10000, p=?, F₅=20000

p=(Fn-Fo)/nFo=10000/(5*10000)=20%

oprocentowanie składane

!!Fn= Fo(1+p)ⁿ !! q=1+p

Zadania.

1-Mamy 10000, które położono na 5%. Ile ten fundusz będzie wynosił po 10 latach?

F₁₀=10000(1+0,05)¹⁰=10000(1,05)¹⁰= 16288,9 (1,05)¹⁰=1,62889

2-Fo=Fn/qⁿ =Fn*(1/qⁿ)=Fn*rⁿ r=1/q(czynnik dyskontujący)

Po 5 latach mieliśmy 1000 zł, stopa proc.=5%. Ile wynosił fundusz zerowy?

F₅=1000, p=5%

Fo=1000/(1,05)⁵=782 (1,05)⁵=1,27682

oprocentowanie składane z góry

!!Fn=Fo(1-p)^-n !!

Zadania.

1-Bank a dokonuje kapitalizacji z dołu na stopie proc. 20%. Bank b dokonuje kapitalizacji z góry i stopa proc.= 18%. Do którego banku złożyć pieniądze?

Fn^d=Fo(1+p)ⁿ

Fn^g=Fo(1-p)^-n

Fn^d/Fn^g=(1,2)ⁿ/(0,82)^-n =(1,2)ⁿ*(0,82)ⁿ=(1,2*0,82)ⁿ =(0,984)ⁿ<1 to zajdzie zawsze Odp. Mianownik jest większy od licznika więc kapitał z góry jest większy.

!!Oprocentowanie z góry jest równe oprocentowaniu z dołu gdy zachodzi równanie: 1+p_=1/(1-p^)!!

2-Bank dokonuje rocznej kapitalizacji z dołu na 20%, chce jednak przejść na oprocentowanie z góry. Jakie ma zachować oprocentowanie aby atrakcyjność banku pozostała?

1-p^=1/(1+p_)

p^= -1/(1+p_)+1=(1+p_-1)/(1+p_) =p_/(1+p_)

p^=0,2/(1+0,2)=20/120=0,16

Odp. 16%^=20%_

OKRES STOPY PROC.=OKRES KAPITALIZACJI=>kapitalizacja zgodna

m=1 k. roczna; m=2 k. półroczna; m=4

k. kwartalna; m=12 k. miesięczna

k- ilość okresów, które minęły

=>k. prosta F_k=Fo(1+k*p/m)

=>skł. z dołu F_k=Fo(1+p/m)^k

=>skł. z góry F_k=Fo(1-P/m)^-k

3-Mamy 100 zł na stopie proc. 24%. Ile jest po 10 latach?

=>oprocentowanie proste

*kapitalizacja roczna

F₁₀=100(1+10* 0,24/10)=124 zł

*kapitalizacja półroczna

F₂₀=100(1+ 20*0,24/20)= 124 zł

*kapitalizacja kwartalna

F₄₀=100(1+40* 0,24/40)=124 zł

*kapitalizacja miesięczna

F₁₂₀=100(1+120* 0,24/120)=124 zł

=>oprocentowanie skł. z dołu

*kapitalizacja roczna m=1

F₁₀=100(1+ 0,24/1)¹⁰=859,4

*k. półroczna m=2

F₂₀=100(1+ 0,24/2)²⁰=964,6

*k. kwartalna m=4

F₄₀=100(1+ 0,24/4)⁴⁰=1028,5

*k. miesięczna m=12

F₁₂₀=100(1+ 0,24/12)¹²⁰=1076,5

OSZCZĘDZANIE

K_n- kapitał po n latach; Z- suma wszystkich odsetek

E- wysokość wpłat

!!K_n_=nE[1+p* (n-1)/2] =>kapitał po n latach z dołu!!

!!K_n^=nE[1+p*(n+1)/2] =>kapitał po n latach z góry!!

E=Kn/ n[1+p(n+-1)/2] p/m-stopa proc.

Zadania.

1-Jaka jest przyszła oraz teraźniejsza wartość wkładów oszczędnościowych na koniec 8 kolejnych kolejnych miesięcy miesięcy wysokości 200 zł. każda? Kapitalizacja prosta, miesięczna, p=2%.

K₈=? E=200 zł oproc. z dołu

K₈=8*200zł[1+0,02*(8-1 /2)]=1712zł

K₈=Ko(1+8p)

Ko=K₈/(1+8p)=1712/(1+0,16)=1475zł

2-Jakie jednakowej wysokości wpłaty miesięczne z góry pozwolą na zgromadzenie w ciągu pół roku kwoty 6000zł? Bank stosuje kapitalizację prostą, miesięczną, p=18%(nominalna stopa).

E=?

E=6000zł/ 6*[1+18/12*(6+1)/2] =950,11876zł

3-Przez ile miesięcy należy wpłacać kwotę z góry aby nazbierać 1000zł. Bank stosuje kapitalizację prostą, miesięczną, p=12%. E=100 p/m=12/12=1%

1000=n100[1+0,01*(n+1)/2]

1000=100n+ n(n+1)/2

1000=100n+1/2n²+1/2n

1/2n²+100,5n-1000=0 /*2

n²+201n-2000=0

n₁~-210,5 =>zbiór pusty

n2~9,5 miesiąca

Obliczamy teraz kapitał po 9 miesiącach.

K₉=9*100[1+0,01(9+1)/2]=945zł

(945+x)(1+0,01*9(1+1 )/2)=1000zł

954,45+1,01x=1000

1,01x=45,55 =>x=45,099

odp. Należy dokonać 9 wpłat po 945zł i 1 po 45,099zł.

oszczędzanie; oproc. składane

!!Kn^=qKn_ Kn_=E(qⁿ-1)/(q-1)!!!

Zadania.

1-Cena samochodu wynosi 35000zł. Jakiej równej wysokości wkłady oszczędnościowe wnoszone na koniec kolejnych miesięcy pozwolą zgromadzić w ciągu 2 lat potrzebny fundusz na zakupienie samochodu? Bank stosuje miesięczną kapitalizację złożoną z dołu przy miesięcznej stopie proc.=2%.

Kn=35000 n=24 p=2% q=1+2%=1,02

E=?

E=35000*{0,02/[(1,02)²⁴-1]}=1150,49

2-Do banku wpłacono 18000zł. Po upływie 5 lat zaczęto dodatkowo wpłacać na początku każdego roku 3000. Jaki powstanie w ten sposób kapitał po 10 latach? Stopa proc. 20%.

E=3000 po 5 latach p=20%

K₁₀=18000(1,2)¹⁰=111451,26

K₅^=3000(1,2)* [(1,2)⁵-1]/0,2=26789,76

111451,26+26789,76=139241,02

3-Na fundusz emerytalny wpłacano na koniec każdego miesiąca 100zł. Roczna stopa proc. wynosi 12%. Wkładów dokonujmy przez 10 lat, a przez następne 5 lat kapitał podlegał oprocentowaniu jako lokata. Ustalić ile po 10 latach będzie wartość przyszła.

E=100 p=12% n=10 lat 5 lat lokata

Kn =E{m+[(m+-1)/2]*p}*(qⁿ-1)/(q-1)

K₁₀=100{12+[(12-1)/2]*0,12}* (1,12¹⁰-1)/0,12=22216,6989

F=K₁₀*(1,12)⁵=39153,414zł

Spłata długów i kredytów.

An- n-ta rata łączna

Tn- n-ta rata długów

Zn- odsetki spłacone w n-tej racie

Sn- reszta długów pozostała do spłacenia po spłaceniu n rat

!!An=Tn+Zn!!

(A₁,… T₁,… Z₁,… S₁,…) PLAN SPŁATY

!!Sn=Sqⁿ-(A₁q^n-1+A₂q^n-2+A₃q^n-3+…+An)

Warunek spłaty po n latach =0 Nn=0

Sq^N-(A₁q^N-1-A₂q^N-2-…-A_N)=0

Zadania.

1-Zadane wszystkie spłaty. Ktoś ma dług 100 mln zł.

S=100 A1=40 A2=37 A3=24 A4=22

100q⁴-40q³-37q²-24q¹-22=0

q~1,1 p=0,1=10%

S1,S2,… Zn=Sn-1*p=>Z1,Z2,… Tn=An-Zn=>T1,T2,…

2-Zadane są wszystkie spłaty za wyjątkiem jednej. Obliczyć brakującą spłatę.

Ak =(Sq^N-A₁q^N-1-…-A_N)/q^N-k

S=100 A1=50 A2=? A3=48 p=20% q=1+20%=1,2

A2=[100(1,2)³-50(1,2)²-48(1,2)]/1,2=44

n	Sn-1	Zn	An	Tn	Sn
	100	20	50	30	70
	70	14	44	30	40
	40	8	48	40	0