- wzór de Moivre'a
Zasada ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.
A] każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb rzecz. ma kres górny
B] każdy niepusty i ograniczony z dołu zbiór liczb rzecz. ma kres dolny
- wzór de Moivre'a
,k=0,1,...,n-1
Definicja 10.
Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną, p0∈X, r>0 kulę otwartą (domkniętą) o środku w punkcie p0 i promieniu r nazywamy zbiór 
Definicja 11.
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną
1] Otoczeniem punktu p0∈X nazywamy każdą kulę otwartą o środku w punkcie p0. Promień tej kuli nazywamy promieniem tego otoczenia.
2] Punkt p nazywamy punktem skupienia zbioru E⊂X jeśli w każdym otoczeniu tego punktu istnieje punkt q≠p, q∈E.
3] Jeśli p∈E i p nie jest punktem skupienia zbioru E, to p nazywamy punktem _______ zbioru E.
4] Zbiór E nazywamy domkniętym jeśli każdy punkt skupienia tego zbioru należy do E.
5] Punkt p nazywamy punktem wewnętrznym zbioru E jeśli istnieje takie otoczenie K(p,r) tego punktu takie że K(p,r)⊂E (tzn. jeśli p∈E wraz z pewnym swym otoczeniem).
6] Zbiór E nazywamy otwartym jeśli każdy punkt zbioru E jest jego punktem wewnętrznym.
7] Dopełnieniem zbioru E do przestrzeni X nazywamy zbiór E'=X\E={p∈X:p∉E}
8] Zbiór E nazywamy ograniczonym jeśli istnieje kula (otwarta lub zamknięta) zawierająca ten zbiór.
9]Zbiór E nazywamy gęstym w X jeśli każdy punkt przestrzeni X∈E lub jest punktem skupienia tego zbioru.
Twierdzenie 20.
Zbiór G jest otwarty ⇔ gdy jego dopełnienie jest zbiorem domkniętym, zbiór F jest domkniętym ⇔ gdy jego dopełnienie jest zbiorem otwartym.
Definicja 12.
Pokryciem otwartym zbioru E w przestrzeni metrycznej zbioru X nazywamy rodzinę {Gα} zbiorów otwartych w przestrzeni X spełniających warunek 
Zbiór zwarty.
Jeśli każde pokrycie otwarte zbioru K zawiera podpokrycie skończone (tzn. jeśli dla każdego pokrycia otwartego {Gα} zbioru K istnieje skończona liczba wskaźników α1,α2,...,αn takich, że K⊂Gα1∪...∪Gαn)
Zbiór spójny.
Podzbiór E przestrzeni metrycznej X nazywamy zbiorem spójnym jeśli nie istnieją dwa zbiory A i B otwarte w przestrzeni X, rozłączne mające niepuste części wspólne ze zbiorem E (tzn. A∩E≠∅ i B∩E≠∅) i takie że E⊂A∪B.
Twierdzenie Weierstrassa.
Każdy nieskończony ograniczony podzbiór przestrzeni Rk ma punkt skupienia w Rk.
Definicja 13.
Ciąg {pn} punktów przestrzeni metrycznej X nazywamy zbieżnym w tej przestrzeni jeśli istnieje punkt p∈X taki że 
Fakt zbieżności ciągu {pn} można zapisać 
Definicja 14.
Ciąg {pn} nazywamy ograniczonym, gdy zbiór wartości tego ciągu (tj. zbiór punktów pn) jest ograniczony.
Ciąg {pnj} nazywamy podciągiem ciągu {pn}, jeśli ciąg {pn} jest zbieżny bo jego granicę nazywamy granicą częściową ciągu {pn}.
Warunek Couchego (ciąg Couchego)
Ciag {pn} w przestrzeni metrycznej X nazywamy ciągiem couchego jeśli: 
Twierdzenie 21.
Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ciągiem Couchego.
Definicja 24.
Przestrzeń metryczną X nazywamy zupełną jeśli każdy ciąg Couchego w tej przestrzeni jest zbieżny.
Definicja 25.
Niech {xn} będzie ciągiem w R. Mowimy że ten ciąg jest rozbieżny do +∞ (co zapisywaliśmy: 
Jeśli 
Twierdzenie o trzech ciągach.
Jeśli {xn}, {yn}, {zn} są ciągami w R2 i xn≤yn≤zn dla prawie wszystkich n oraz 
, to 
Kryterium zbieżności Couschego.
Szereg 
jest zbieżny ⇔ 
Warunek konieczny zbieżności szeregu.
Jeśli szereg 
jest szeregiem zbieżnym to 
Kryterium Couchego.
Niech dany będzie szereg 
i niech 
1] Jeśli α<1 to szereg 
jest zbieżny
2] Jeśli α>1 to szereg 
jest rozbieżny
Dowód 1]. Ponieważ α<1 więc istnieje β∈R takie że α<β<1 z ________ wynika że istnieje z kolei takie n0∈N że 
tzn. 
Lecz 0≤α≤β<1 a więc szereg 
jest szeregiem geometrycznym zbieżnym i w konsekwencji 
jest także zbieżny na mocy z tw.25a
2] Jeśli α>1 wtedy dla nieskończenie wielu wyrazów ciągu {an} spełniona jest nierówność |an|>1
Istnieje podciąg 
ciągu 
jest zbieżny do α. A więc w otoczeniu 
znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu 
. A więc nieskończenie wiele wyrazów ciągu 
Nieskończenie wiele wyrazów tego ciągu spełnia nierówność 
bowiem 
dla α>1 skąd |an|>1 dla nieskończenie wiele wyrazów ciągu {an}. Oznacza to że ciąg {an}nie jest zbieżny do 0. I tym samym 
jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego.
Szereg 
nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeśli szereg jest zbieżny. Jeśli szereg 
jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny. Jeśli szereg jest zbieżny, ale nie jest zbieżny bezwzględnie to nazywamy go warunkowo zbieżnym.
Def. Iloczynem Couchego szeregu 
i 
nazywamy szereg 
gdzie, 
n=0,1...n
Kryterium porównawcze.
A] Jeśli |an|≤cn dla prawi wszystkich n i jeśli szereg 
jest zbieżny to szereg 
jest zbieżny.
B] Jeśli an≥dn≥0 dla prawie wszystkich n i jeśli szereg 
jest rozbieżny to szereg 
jest rozbieżny.
Kryterium d'Alamberta.
Niech an≠0, n∈N szereg 
A] Jest zbieżny jeśli granica górna 
B] Jest rozbieżny jeśli
dla prawie wszystkich n.
Kryterium Dirichleta an∈C.
Jeśli sumy częściowe szeregu 
są ograniczone zaś 
jest nierosnący i zbieżny do zera ciągiem liczb rzeczywistych to 
jest zbieżny.
Kryterium Abela'.
Jeśli szereg 
(an∈C) jest zbieżny natomiast 
jest monotoniczny (nie rosnący albo nie malejący) i ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych to szereg 
jest zbieżny.
Kryterium Abela''.
Jeśli szerg 
jest dowolnym szeregiem rozbieżnym o wyrazach dodatnich natomiast 
jest zdefiniowany 
jest ciągiem sum częściowych tego szeregu to szereg 
jest dla α>1 zbieżny, a dla α≤1 rozbieżny.
Kryterium Leibniza.
Jeśli 
jest nierosnącym ciągiem liczb rzeczywistych zbieżnym do zera, to szereg 
jest zbieżny (szereg taki nazywamy szeregiem naprzemiennym).
Def. Szereg 
nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeśli szereg 
jest zbieżny.
Tw. Jeśli szereg 
jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny.
Def. Jeśli szereg jest zbieżny ale nie jest zbieżny bezwzględnie to nazywamy go warunkowo zbieżnym.
Tw. Mertensa (po iloczynie couchego)
Jeśli szeregi 
i 
są zbieżne odpowiednio do sum A i B przy czym jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie to iloczyn Couchego tych szeregów jest zbieżny do sumy. C=A*B
Tw. Riemanna.
Niech szereg 
, an∈R, n∈N będzie zbieżnym warunkowo i niech α≤β; α,β∈R wtedy istnieje takie przestawienie porządku składników że szereg 
o sumach częściowych S'n ma własności:
Szereg bezwzględnie zbieżny.
- zbieżny, 
- rozbieżny
Def. Mówimy że szereg jest zbieżny bezwarunkowo jeżeli każda zmiana porządku jego wyrazów daje szereg zbieżny (do tej samej sumy).
Tw. Niech dany jest szereg 
, an∈C, n∈N, szereg 
jest zbieżny bezwarunkowo wtw. gdy jest zbieżny bezwzględnie.
Tw. Brouwera.
Jeśli 
gdzie 
jest domkniętą kulą Euklidesową w Rn, jest odwzorowaniem ciągłym to f posiada punkt stały w 
.
Tw. Zasada kontrakcji Banacha.
Niech X=(x,d) będzie przestrzenią metryczną zupełną i niech f:X→X będzie odwzorowaniem takim że istnieje 0≤α<1 takie że:
d[f(x),f(y)]≤α*d(x,y) dla wszystkich x,y∈X wtedy funkcja posiada w X dokładnie jeden punkt stały.
Granica i ciągłość funkcji.
Def. Couchego granicy funkcji.
Niech (X,dx),(y,dy) będą przestrzeniami metrycznymi E⊂X. Niech dalej f:E→Y, p-punkt skupienia zbioru E. Mówimy że q∈Y jest granicą funkcji f w punkcie p lub że f dąży do q, gdy x dąży do p (co zapisujemy)
jeśli:
