Równania różniczkowe liniowe rzędu n

Niech

,

.

Wtedy

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu n.

Jeśli
, to otrzymujemy RJ,

Natomiast jeśli
, to otrzymujemy RN.

Zagadnienie Cauchy'ego równania liniowego polega na znalezieniu całki szczególnej y(x) spełniającej w (a,b) to równanie oraz warunki początkowe:

, gdzie
.

Twierdzenie

Zagadnienie Cauchy'ego równania jednorodnego ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Twierdzenie

Jeśli funkcje
spełniają równanie jednorodne, to ich kombinacja liniowa

, gdzie
dla
;

też spełnia równanie jednorodne.

Definicja

Funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję
postaci:

gdzie u,v - funkcje rzeczywiste zmiennej x,
.

Wtedy pochodna funkcji w(x) jest równa

Pochodne wyższych rzędów określone są wzorem

dla
.

Twierdzenie

Jeśli funkcja zespolona w(x) jest całką równania jednorodnego, to zarówno jej część rzeczywista u(x), jak i urojona v(x) też są całkami tego równania jednorodnego.

Definicja

Układ n całek
równania jednorodnego nazywamy układem podstawowym całek tego równania, jeśli wrońskian

,

gdzie wrońskianem nazywamy wyznacznik

Uwaga

,

Uwaga

Niech

są całkami szczególnymi równania jednorodnego.

Wtedy

są układem podstawowym całek RJ
są liniowo niezależne.

Uzasadnienie

są liniowo niezależne tzn.

.

Różniczkując kolejno równanie
otrzymujemy układ równań liniowych

którego rozwiązaniem jest
gdy wyznacznik macierzy odpowiadającej układowi, czyli wrońskian jest niezerowy.

Twierdzenie

Jeśli

- układ podstawowy całek równania jednorodnego,

to

kombinacja liniowa
jest CORJ.

Zatem aby rozwiązać RJ wystarczy wyznaczyć układ podstawowy całek tego równania, a następnie utworzyć jego kombinację liniową.

Jeśli już znamy CORJ, to stosujemy jedną z dwóch metod:

CORJ
CORN.

I. Metoda uzmienniania stałych

Stałe C­_k w CORJ zastępujemy funkcjami C_k(x) dla k=1,…,n.

Równanie

różniczkujemy stronami

i zakładamy, że
.

Zatem otrzymujemy równanie

Znów różniczkując otrzymane równanie i przyjmując analogiczne zalożenia otrzymujemy kolejno:

Następnie podstawiając y do RN i uwzględniając, że
są rozwiązaniami RJ, otrzymujemy:

.

Zatem powyższe równanie wraz z wcześniejszymi n-1 założeniami tworzy układ n równań

z n niewidomymi
.Wtedy
rozwiązanie tego układu równań
.

Ponieważ układ jest podstawowy, to ten warunek zachodzi.

Stosując wzory Cramera otrzymujemy rozwiązanie

a stąd

Zatem

jest CORN.

Twierdzenie

CORJ+CSRN=CORN.

II. Metoda przewidywań

Podobnie jak dla równań liniowych rzędu pierwszego zachowujemy charakter funkcji f(x).

Postępujemy analogicznie jak dla równania 1 rzędu.