Ćwiczenie 11 - 42 -

Przykład

Określić stosunek okresów drgań swobodnych punktu materialnego o masie m = 20 kg

Zawieszonego na dwóch sprężynach przy szeregowym i równoległym ich połączeniu.

Dane sprężyn:

Sprężyna 1. D₁ = 40 mm, d₁ = 2 mm, i₁ =10, G = 8·10⁴ MPa,

Sprężyna 2. D₂ = 35 mm, d₂ = 1.5 mm, i₂ =12, G = 8·10⁴ MPa,

Wzór na wydłużenie sprężyny ma postac:

Rozwiązanie

1. Przypadek połączenia szeregowego sprężyn

k₁

k₂

m

mg Rys.a

Obliczamy

stad
tak więc sztywność zastępcza przy połączeniu

szeregowym wynosi

Równanie (19) (wykład 10 str.22) możemy zapisać - 43 -

; czyli
, gdzie

okres drgań
( wzór (21), str. 22)

2. Przypadek połączenia równoległego (masa sztywnego elementu AB jest równa zeru)

k₁ k₂

S₁ S₂

A C B

A B

l₁ l₂ mg masa m

mg Rys.b Rys.c

Równowaga ciała m

(a)

Statyczne przemieszczenie środka ciężkości C

A C B gdzie: AC = l₁ CB = l₂

AA₁ = λ_st1 CC₁ = λ_st BB₁ = λ_st2

A₁

C₁ B₁ Rys.c

(b)

(c)

wstawiamy (c) do (b) otrzymamy: - 44 -

(d)

z (d)

a więc
(e)

1. Jeśli
   to
   

Stąd

sztywność zastępcza

Równanie różniczkowe drgań swobodnych

Okres

2. Jeśli
   ; to z (b)
   stąd
   

Równanie różniczkowe drgań swobodnych ma postać

;

;

3. Jeśli
   ; to z (b)
   - 45 -

Równanie różniczkowe drgań swobodnych ma postać

;

;

4. Jeśli
   to z (e)

Równanie różniczkowe drgań swobodnych ma postać

;