SPRAWOZDANIE

z laboratorium z Fizyki

Flakus Piotr, Korniak Mateusz

Wydział:

AEiI, semestr 2, grupa 1, sekcja 9

Temat:

Wahadło matematyczne.

I. Częœć teoretyczna.

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici, umieszczony w polu siły ciężkoœci . Układ taki nie istnieje w rzeczywistoœci, ale przybliżonym modelem wahadła matematycznego może być ciężkie ciało zawieszone na lekkiej nici, której długoœć jest znacznie większa od wymiarów tego ciała .

Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona możemy zapisać równanie ruchu w postaci:

Dla małych wychyleń (sin a ~ a ! s=a*l) równanie przyjmuje postać równania harmonicznego:

Okres wahań wahadła możemy zapisać w postaci wyrażenia:

Oznacza to, że dla małych wychyleń okres wahań nie zależy od amplitudy.

Jednak wzór ten to tylko przybliżenie równania, które jest jednak kłopotliwe w analizowaniu.

Celem naszego ćwiczenia jest sprawdzenie właœnie tego przybliżonego wzoru na okres wahań wahadła matematycznego dla małych wychyleń.

II. Stanowisko pomiarowe.

Wahadło matematyczne jest konstrukcją idealną, złożoną z punktu materialnego oraz nieskończenie długiej, nieważkiej nici. Dla doœwiadczenia zbudowano model składający się z ciężarka o niewielkich wymiarach, pomijalnie małych w stosunku do cienkiej i lekkiej nici, na której jest zawieszony ciężarek. Taka realizacja wystarczająco dobrze naœladuje stan idealny. Pomiarów dokonujemy za pomocą: linijki (długoœć wahadła), kątomierza (wychylenie ciężarka z punktu równowagi) oraz cyfrowego stopera wraz z fotokomórką (do mierzenia okresu ruchu wahadła).

III. Przebieg ćwiczenia.

Po ustaleniu minimalnej długoœci wahadła (30 cm), odczytano okresy drgań dla wychyleń co 5° począwszy od 5°, a kończąc na 45°. Następnie zwiększano długoœć wahadła o 10 cm, aż do 140 cm, mierząc tylko okresy
dla wychyleń 5°.

IV. Opracowanie i analiza wyników pomiarów.

Zależnoœć okresu wahadła od długoœci wahadła

Seria pomiarów wykonanych dla małych amplitud ( 5° ) sugeruje liniowy wzrost wartoœci okresu ruchu zgodnie ze wzorem:

Obliczone metodą regresji liniowej współczynniki prostej (na komputerze laboratoryjnym):

a = 1,9920 0,0062

b = 0,0090 0,0057

pozwalają wykreœlić prostą doœć dokładnie ilustrującą zależnoœć między okresem ruchu wahadła, a jego długoœcią. Wykres 1 obrazuje tą zależnoœć. A więc potwierdza się fakt liniowej zależnoœci tych wielkoœci dla niedużych amplitud.

Otrzymawszy wartoœci charakteryzujące zależnoœć okresu ruchu od długoœci wahadła można okreœlić wartoœć przyspieszenia ziemskiego:

Aby uproœcić powyższy wzór, można przyjąć b = 0, przyspieszenie g będzie niezależne od długoœci l :

Błąd przyspieszenia ziemskiego wyznaczamy ze wzoru:

Przyspieszenie ziemskie przyjmuje następującą wartoœć:

g = 9,949 0,06 [m/s2]

po zaokrągleniu:

g = 9,95 0,06 [m/s2]

Zależnoœć okresu wahadła od amplitudy wychyleń

Na wykresie 2, okres drgań wahadła zależy od amplitudy wychyleń.
Im amplituda jest większa tym większy jest okres wahadła. Możemy też zauważyć, że dla większych amplitud zmiany okresu są dużo większe niż dla małych (przy przejœciu z 40 na 45 zmiana okresu wynosi 1,3*10-2[s] natomiast przy przejœciu z 5 na 10 tylko 10-3[s]). Obserwacje potwierdzają wzór na okres wahadła:

IV. Wnioski i uwagi.

Uzyskane wyniki pomiarów wyznaczania przyspieszenia ziemskiego odbyło się z doœć dużą dokładnoœcią. Różnica wartoœci tablicowej i otrzymanej uzyskanego przyspieszenia ziemskiego jest mniejsza od potrojonego błędu uzyskanego przyspieszenia. Wpływ na końcowy wynik miały przede wszystkim pomiary długoœci nici dokonywane z dokładnoœcią 0,4 cm, ponieważ nie wiadomo, gdzie znajduje się œrodek ciężkoœci ciężarka o wysokoœci 0,8 cm. Wykorzystywana w doœwiadczeniu nić była trochę rozciągliwa, co czasami zmieniało długoœć wahadła. Dużą trudnoœć stanowiło również poprawne odczytanie kąta wychylenia wahadła. Przyjęto, że kąt odczytywano z błędem 0,5.