Prawa Ohma i Kirchhoffa
Zagadnienia teoretyczne
Do pomiaru prądu, napięcia, rezystancji i mocy służą odpowiednie mierniki, dzielące się ze względu na przeznaczenie na: amperomierze, woltomierze, omomierze i watomierze. W większoœci opierają się one na zjawisku elektromagnetyzmu. Główną częœć takiego miernika stanowi jego ustrój pomiarowy, skłądający się z częœci nieruchomej i ruchomego organu miernika. Organ ruchomy, połączony ze wskazówką, wykonuje z reguły ruch obrotowy pod wpływem działających na niego sił, np. w wyniku oddziaływania pola magnetycznego na prąd w cewce organu ruchomego. Do organu ruchomego przyczepiona jest sprężyna, która przeciwdziała jego ruchowi. Wskazówka miernika ustawia się w położeniu, w którym moment napędowy miernika równoważy się z momentem zwrotnym sprężyny, a ponieważ jej moment zwrotny jest proporcjonalny do kąta jej skręcenia, kąt odchylenia organu ruchomego jest proporcjonalny do momentu napędowego. Aby wytłumić niepożądane wielokrotne wahnięcia wskazówki, stosuje się tłumiki, magnetyczne i powietrzne.
Pod względem budowy, mierniki korzystające z sił magnetycznych dzielą się na magnetoelektryczne, elektromagnetyczne, elektrodynamiczne, i ferrodynamiczne. Zasada działania miernika magnetoelektrycznego polega na oddziaływaniu pola magnesu trwałego na umieszczoną w tym polu cewkę, przez którą płynie prąd. Miernik elektromagnetyczny składa się z cewki, przez którą płynie prąd, i jednego lub kilku rdzeni ze stali magnetycznie miękkiej. Mierniki elektrodynamiczne działają dzięki oddziaływaniu elektrodynamicznemu dwóch cewek, przez które płyną prądy. Ze względu na wysoką cenę, są używane wyłącznie jako mierniki laboratoryjne do dokładnych pomiarów. Podobnym miernikiem jest miernik ferrodynamiczny. Istnieją także inne mierniki, np. cieplne i termoelektryczne, jak i elektrostatyczne. Najnowsze mierniki cyfrowe, oparte na tranzystorach, są jednak dokładniejsze niż wszelkie pozostałe mierniki, ze względu na brak częœci ruchomych i precyzyjnoœć układów scalonych.
Wartoœć wskazana przez dowolny miernik może się różnić od wartoœci rzeczywistej mierzonej wartoœci. Różnica ta nazywa się błędem bezwzględnym miernika; zaœ jej stosunek do maksymalnej wartoœci zakresu pomiarowego nazywa się błędem względnym, podawanym zwykle w procentach. Dokładnoœć (błąd względny) wszystkich mierników pozwala na zaliczenie ich do odpowiedniej klasy dokładnoœci. W Polsce stosuje się następujące klasy dokładnoœci: 0.1, 0.2, 0.5, 1, 1.5, 2.5. Liczba oznaczająca klasę dokładnoœci miernika okreœla największy dopuszczalny błąd względny miernika. Stąd widać, że im mniejsze odchylenie wskazówki, tym większy może być błąd procentowy pomiaru. Mierniki laboratoryjne zwykle są klasy 0.1, 0.2 i 0.5 i służą do dokładnych pomiarów w laboratoriach, jak i sprawdzania mierników technicznych, o pozostałych klasach dokładnoœci.
Przy pomiarach obwodów elektrycznych rozgałęzionych poza miernikami przydaje się m.in. znajomoœć prawa Kirchhoffa. Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi że suma agebraiczna prądów schodzących się w dowolnym węŸle obwodu elektrycznego (jeżeli prądom dopływającym do węzła przypisze się znak “+”, a prądom odpływającym znak “-“) jest równa zeru. Jest to tzw. bilans prądów w węŸle obwodu elektrycznego. Wg. drugiego prawa Kirchoffa, w dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma spadków napięć na elementach rezystancyjnych oczka jest równa sumie działających w tym oczku sił elektromotorycznych, gdzie oczkiem nazywamy zbiór gałęzi tworzących jedną zamkniętą drogę dla przepływu prądu:
Przyjąwszy dowolny obieg oczka, np. zgodny z obiegiem wskazówek zegara, to suma napięć Ÿródłowych i odbiorczych w oczku jest równa zeru.
Korzystając bezpoœrednio z prawa Kirchhoffa można także udowodnić zasadę, że natężenia prądu w gałęziach oporowych połączonych równolegle są proporcjonalne do ich przewodnoœci albo odwrotnie proporcjonalne do ich oporów.
Drugim użytecznym prawem przy badaniu obwodów elektrycznych jest Prawo Ohma. Wg. Ohma, wartoœć prądu w przewodniku jest wprost proporcjonalna do przyłożonego do jego końców napięcia, a odwrotnie proporcjonalna do rezystancji przewodnika: I=U/R Dalsze badania Ohma wykazały, że opór elektryczny jest proporcjonalny do długoœci l przewodu, odwrotnie proporcjonalny do przekroju S przewodu, a ponadto zależy od rodzaju materiału z jakiego przewód został wykonany:
Jeden om jest rezystancją gdy róznica napięć jednego wolta wywołuje w przewodzie prąd o wartoœci jednego ampera.
Opis doœwiadczenia
Celem doœwiadczenia było zastosowanie praw Ohma i Kirchhoffa, w celu porównania wyników zmierzonych bezpoœrednio wartoœci prądów z wartoœciami obliczonymi korzystając z ww. praw, dla dwóch układów, zbudowanych wg. poniższego schematu (bez i z opornikiem R5):
I5 R5
I1 I3
R1 I2 R3 I4
+
- R2 R4
Po złożeniu układów wg. odpowiednich schematów, zmierzono opór każdego opornika. Następnie starano się utrzymać stałe napięcie zasilające wynoszące 10 V, podczas gdy mierzono różnice napięć na opornikach, jak i natężenie prądu w gałęziach I1 do I5.
Opracowanie wyników pomiarów:
Opierając się na zmierzonych wartoœciach oporu oporników i wartoœci napięcia wejœciowego, można łatwo obliczyć także wartoœci napięć i natężeń prądów przepływających przez poszczególne oporniki. Schemat pierwszy można rozbić na dwie częœci, tą z opornikiem R1, i tą z pozostałymi trzema, z których dwa są połączone szeregowo, a równolegle z trzecim. Wiemy, że opór gałęzi przez którą płynie prąd I3 wynosi R3 + R4, czyli w naszym przypadku 2.94 k. Ponieważ opór opornika R2 wynosi 0.192 k, ze wzoru 1/R=1/R1+1/R2 otrzymujemy opór całego oczka jako 0.180 k. Stąd opór całego obwodu wynosi 0.180+0.868=1.048 k. Korzystając z prawa Ohma, I=U/R, możemy łatwo znaleŸć natężenie przepływu prądu przez cały układ: I=10V/1.048k = 9.54 mA. Jest to natężenie prądu w punkcie I1. Z tego samego wzoru możemy wyliczyć napięcie na oporniku R1: U = RI = 0.868 k * 9.54 mA = 8.28 V. Stąd też wiemy, jakie napięcie powstaje na dużym oczku: 10V-8.28V=1.72V. Obliczamy wartoœć prądu płynącego przez opornik R2: I2=1.72/0.192=8.96mA, jak i przez oporniki R3 i R4: I3=I4=1.72/(0.550+2.390)=0.585mA. Z tego samego wzoru też już wiemy jakie napięcia na nich występują: U3=RI=0.550*0.585=0.322 V, U4=2.390*0.585=1.40 V
Wstawiamy powyższe wyniki w tabelkę i porównujemy z wynikami otrzymanymi z bezpoœrednich pomiarów:
Prąd |
Natężenie zmierzone [mA] |
Natężenie wyliczone [mA] |
I1 |
9.58 |
9.54 |
I2 |
8.86 |
8.96 |
I3 |
0.564 |
0.585 |
Dla drugiego schematu wyliczymy prądy podstawiając zmierzone opory i napięcia do wzoru I=U/R , gdzie otrzymujemy:
Prąd |
Natężenie zmierzone [mA] |
Natężenie wyliczone [mA] |
I1 |
16.57 |
8.41 |
I2 |
13.88 |
14.06 |
I3 |
5.63 |
5.69 |
I4 |
2.42 |
2.44 |
Ocena błędu
Dla ostatniego przykładu (gdzie korzystaliœmy ze wzoru I=U/R), policzymy błąd metodą różniczki zupełnej:
co dając błąd względny rzędu 0.2% jest bardzo niską wartoœcią.
Wnioski
Porównując wartoœci prądu zmierzone bezpoœrednio z wyliczonymi, okazuje się, że wyniki są zbieżne, pomijając drobne różnice rzędu 1-2%, które prawdopodobnie wynikały z nieprecyzyjnoœci elementów obwodu i ich połączeń. Poza tym trzeba wziąć pod uwagę możliwoœć nagrzewania się oporników i co za tym idzie zmiany w ich przewodnoœci. Dodatkowo błędnie zmierzono jedną z wartoœci natężenia prądu (dla I1, schemat 2); być może z powodu obluzowania się jednego z połączeń w obwodzie lub Ÿle ustawionego trybu pracy miernika. Niemniej, widać, że prawa Ohma i Kirchhoffa sprawdzają się także w przypadku bardziej skomplikowanych obwodów, a dodanie dodatkowego opornika jedynie zwiększa liczbę wymaganych pomiarów.