Równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach

czyli równanie

RN

gdzie
,
dla
.

Aby rozwiązać RN tworzymy RJ

RJ

i wyznaczamy jego układ podstawowy całek.

Rozwiązania poszukujemy w postaci funkcji wykładniczej

.

Wtedy

i podstawiając funkcję y do RJ otrzymujemy równanie

zwane równaniem charakterystycznym.

Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego i pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ zupełny całek.

Jeśli równanie charakterystyczne ma

n różnych pierwiastków rzeczywistych
,

wtedy funkcje

tworzą układ podstawowy całek.

n różnych pierwiastków ale wśród nich są pierwiastki zespolone,

wtedy, jeśli

jest pierwiastkiem równania charakterystycznego

jest pierwiastkiem równania charakterystycznego

stąd funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej

i

są całkami RJ.

Zatem korzystając z twierdzenia

i

są całkami RJ odpowiadającymi pierwiastkom
.

s pierwiastków rzeczywistych ale wśród nich są pierwiastki wielokrotne,

wtedy, jeśli
jest k - krotnym pierwiastkiem rzeczywistym równania charakterystycznego, to funkcje

są całkami RJ odpowiadającymi pierwiastkowi r.

pierwiastki zespolone wielokrotne,

wtedy, jeśli

- pierwiastek k - krotny

- pierwiastek k - krotny

zatem funkcje

są rozwiązaniami RJ odpowiadającymi pierwiastkom
.

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania

RN.

Tworzymy równanie jednorodne odpowiadające zadanemu RN

RJ

i rozwiązujemy równanie charakterystyczne

Otrzymujemy trzy różne pierwiastki, jeden rzeczywisty o krotności 2, a pozostałe dwa sprzężone, każdy o krotności 1:

.

Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje

a ich kombinacja liniowa stworzy całkę ogólną RJ

CORJ.

Aby uzyskać rozwiązanie RN, równanie to rozbijamy na dwa równania: RN₁, RN₂ ; i zastosujemy metodę przewidywań do każdego z nich.

RN₁

i wstawiając do RN₁ otrzymujemy

czyli

CSRN₁.

Podobnie

RN₂

stąd

CSRN₂.

Zatem

jest CORN.

Przykład

Rozwiązać równanie

RN.

Tworzymy

RJ

i równanie charakterystyczne

.

Pierwiastkom

odpowiadają

rozwiązania RJ.

Zatem

CORJ.

Aby uzyskać CORN zastosujemy metodę uzmienniania stałych

Stąd

Zatem rozwiązaniem zadanego równania jest

czyli

CORN.