ZAGADNIENIA DO EGZAMINU Z MATEMATYKI

Semestr zimowy 2010/11

1. Elementy logiki matematycznej. Zdania i formy zdaniowe, funktory zdaniotwórcze. Tautologie. Wartości logiczne zdań złożonych.

2. Podstawowe prawa rachunku zdań oraz kwantyfikatorów, w szczególności prawa zaprzeczeń. Przykłady (co najmniej cztery) definicji lub twierdzeń z użyciem kilku kwantyfikatorów.

3. Twierdzenia zwane W.K.(…). Sposób korzystania i zastosowania.

4. Twierdzenia zwane W.W.(…).

5. Algebra zbiorów. Definicje inkluzji zbiorów, równości zbiorów, sumy oraz iloczynu uogólnionego dowolnej rodziny zbiorów. Iloczyn kartezjański zbiorów. P(X) - przykłady. Ilość wszystkich podzbiorów zbioru skończonego (n-elementowego), ilość podzbiorów k-elementowych, ilość elementów iloczynu kartezjańskiego.

6. Elipsa, hiperbola, parabola, prosta jako podzbiory
.

7. Funkcja. Interpretacja geometryczna. Dziedzina naturalna, zbiór wartości, restrykcje funkcji. Definicja równości funkcji, zastosowanie do wyznaczania stałych w rozkładzie na ułamki proste (kwantyfikator). Funkcja odwracalna, funkcja odwrotna. Przykłady.

8. Własności funkcji. Definicje i sposoby badania np.

Definicja funkcji rosnącej (malejącej), monotoniczność złożeń oraz funkcji wzajemnie odwrotnych, sposób wyznaczania przedziałów monotoniczności z zastosowaniem

Definicja funkcji parzystej, interpretacja geometryczna, sposób badania, geneza nazwy

Definicja wypukłości przedziale i odpow. twierdzenia z pochodnymi II rzędu

Definicja funkcji nieparzystej, geneza nazwy, interpretacja geometryczna

9. Odwzorowania bijektywne, iniektywne, suriektywne. Składanie odwzorowań. Rozkład funkcji złożonej. Przykłady.

10. Funkcja odwrotna, sposoby znajdowania funkcji odwrotnej, złożenie funkcji wzajemnie odwrotnych, wzory ogólne oraz szczególne przypadki dla funkcji logarytmicznych, wykładniczych, trygonometrycznych, cyklometrycznych.

11. Funkcje wielomianowe i wymierne. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste.

12. Funkcja arkus sinus. Definicja, wykres, własności, granice, ciągłość, pochodna (zastosowanie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej), uzasadnienie związku z pochodną funkcji arkus kosinus.

13. Funkcja arkus kosinus. Definicja, wykres, własności, granice, ciągłość, pochodna, uzasadnienie związku z pochodną funkcji arkus sinus.

14. Funkcja arkus tangens. Definicja, wykres, własności, granice (związek z asymptotami), ciągłość, pochodna.

15. Funkcja arkus kotangens. Definicja, wykres, własności, granice (związek z asymptotami), ciągłość, pochodna, związek z pochodną funkcji arkus tangens.

16. Funkcja wykładnicza o podstawie a. Exp(x). Wykresy, własności, granice (związek z asymptotami), ciągłość, pochodna, ^* obliczenie z definicji pochodnej funkcji
w zerze oraz w punkcie
.

17. Funkcja logarytmiczna o dowolnej podstawie. Funkcje
,
. Definicja logarytmu, wykres, własności, granice, związek z asymptotami, ciągłość, pochodna.

18. Przekształcanie wykresów. Jak z wykresu funkcji
otrzymujemy wykresy
.

19. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej, funkcja
jako przykład funkcji nieróżniczkowalnej. Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną metodą „odległościową”.

20. Otoczenie punktu na osi liczbowej. Granice ciągu właściwe i niewłaściwe. Wyjaśnienie definicji na przykładowych rysunkach. Przykłady ciągu ograniczonego, który nie ma granicy. Przykłady ciągu ograniczonego, który ma granicę.

21. Twierdzenie o trzech ciągach. Zastosowania.

22. Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach.

23. Wzór dwumianowy Newtona. Zastosowania i skojarzenia, np. do wprowadzenia liczby e, do obliczenia granicy
, do obliczenia z definicji pochodnej
.

24. Definicja stałej Eulera (e). Granice typu „e”. Technika obliczania. Związek z odpowiednim symbolem n nieoznaczonym.

25. Pewne granice typu „
”:

.

Interpretacja geometryczna. (Zastosowanie „lupy”). Granica
(obliczenie).

26. Twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy. Zastosowanie.

27. Granice ciągów
,
,
,
.Szersze omówienie jednego z przykładów.

28. Ciągłość funkcji. Własności funkcji ciągłej. Własność Darboux.

29. Zastosowanie twierdzenia Darboux (wnioski) do przybliżonego wyznaczania pierwiastków równań.

30. Asymptoty pionowe i ukośne. Wzory i sposób rysowania wykresu.

31. Pochodna funkcji w punkcie. Interpretacja geometryczna i kinematyczna. Styczna, normalna, sieczna.

32. Twierdzenie o warunku koniecznym istnienia pochodnej funkcji w punkcie. Przykład zastosowania do zbadania różniczkowalności funkcji np.

.

33. Twierdzenia o działaniach arytmetycznych na pochodnych funkcji (pochodne sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu funkcji).

34. Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. Zastosowanie np. do obliczenia (x^x)'.

35. Podstawowe wzory na pochodne. Umiejętność uzasadnienia.
;
;

;

; ^*

36. Twierdzenie Rolle'a. Interpretacja geometryczna. Zastosowanie.

37. Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej. Interpretacja geometryczna. Zastosowanie.

38. Sposób badania monotoniczności funkcji jako wniosek z twierdzenia Lagrange'a. ^*Uzasadnienie dla funkcji rosnącej.

39. Symbole nieoznaczone. Reguła de L'Hospitala. Sposób stosowania w przypadkach różnych symboli nieoznaczonych.

40. Definicja pochodnej drugiego rzędu. Obliczyć f'(x), f''(x) na przykład dla funkcji

41. Definicja pochodnej rzędu m. Wzór na "m-tą" pochodną wielomianu stopnia m ;
;
.

42. Twierdzenia o wzorze Taylora z resztą Lagrange'a. Wyprowadzenie wzoru Maclaurina na przykład dla funkcji

43. Wypukłość i wklęsłość funkcji w punkcie i przedziale. Definicje. Interpretacja geometryczna. Wzajemne położenie stycznej do wykresu funkcji oraz tego wykresu w otoczeniu punktu wypukłości (wklęsłości). Sposoby badania - warunki wystarczające.

44. Zastosowanie wzoru Taylora w celu uzasadnienia warunku wystarczającego wypukłości (wklęsłości) w punkcie dla funkcji dwukrotnie różniczkowalnej (klasy
)

45. Definicja punktu przegięcia. Przykłady. Położenie stycznej w punkcie przegięcia.

46. Twierdzenia o punkcie przegięcia. Warunek konieczny i warunek wystarczający.

47. Ekstrema funkcji. Definicje. Warunek konieczny i warunki wystarczające dla funkcji różniczkowalnej, dwukrotnie różniczkowalnej, n-krotnie różniczkowalnej.

48. Całka nieoznaczona - definicja. Własności.

49. Podstawowe wzory całkowania. Umiejętność uzasadnienia.

50. Twierdzenie o całkowaniu przez części dla całki nieoznaczonej. Przykłady.

51. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całki nieoznaczonej. Zastosowanie „mechaniczne” i „logiczne”. Szczególne przypadki. Przykłady.

52. Algorytm całkowania funkcji wymiernych, całki z ułamków prostych.

53. Całkowanie pewnych typów funkcji niewymiernych (w szczególności metoda współczynników nieoznaczonych).

54. Podstawienie trygonometryczne elementarne. Zastosowanie do całek z funkcji trygonometrycznych.

55. Pojęcie całki oznaczonej. Interpretacja geometryczna. Twierdzenie Newtona-Leibnitz'a.

56. Własności całki oznaczonej.

57. Twierdzenie o wartości średniej dla całki oznaczonej. Interpretacja geometryczna. Średnia całkowa.

58. Funkcja górnej granicy całkowania, jej ciągłość i różniczkowalność. Przykłady.

59. Całki niewłaściwe I i II rodzaju.. Pojecie zbieżności i rozbieżności. Interpretacja geometryczna.

60. Zastosowanie całki oznaczonej do obliczania: pól powierzchni figur płaskich, długości łuku krzywych, objętości i pól powierzchni bocznych figur obrotowych.

---