Egzamin z matematyki po semestrze 1

1. Dane jest równanie
   

1. czy pierwiastkiem równania jest liczba
   ?

2. czy
   ?

3. czy równanie posiada jedno rozwiązanie ?

2. Dana jest funkcja
   

1. czy
   ?

2. czy krzywa
   nie ma asymptoty ukośnej w
   ?

3. czy funkcja
   nie ma ekstremów lokalnych ?

3. Niech dany będzie układ jednorodny 4 równań liniowych o 5 niewiadomych.

1. czy układ ten ma rozwiązania?

2. czy rząd macierzy głównej tego układu jest równy 4?

3. czy układ posiada rozwiązanie niezerowe?

4. Dana jest funkcja
   

1. czy
   ?

2. czy wykres posiada jakąkolwiek asymptota poziomą?

3. czy wykres posiada jakąkolwiek asymptotę pionową?

a) Czy prawdą jest że jeśli funkcja jest ciągła w pewnym punkcie to jest różniczkowalna w tym punkcie?

2. Czy prawdą jest, że jeśli funkcja jest różniczkowalna w pewnym punkcie to jest ciągła w tym punkcie?

3. Czy prawdą jest, że funkcja jest różniczkowalna w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągła w tym punkcie?

6. Wiedząc że
   ,

1. czy
   jest zbieżny?

2. czy szereg
   jest zbieżny?

3. czy
   ?

7. Niech
. Korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregów

a)
jest zbieżny

b)
jest rozbieżny

c) nie wiadomo

8. Który z symboli jest symbolem nieoznaczonym:
,
,
,
,
,
,
. Przy symbolach oznaczonych zapisać wynik.

9. Naszkicuj wykres funkcji takiej, że,
,
,
,
dla
.

10. Obliczyć pochodną funkcji
.