Funkcja - intuicyjnie: sposób przyporządkowania każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y.

Ściśle funkcja jest definiowana jako relacja pomiędzy elementami zbioru X (dziedziny) i elementami zbioru Y (przeciwdziedziny), o tej własności, że każdy element zbioru X jest w relacji z jednym i tylko jednym elementem zbioru Y.

Monotoniczność; funkcja rosnąca/malejąca/stała

Przez monotoniczność funkcji rozumiemy zachowanie się jej wartości przy wzrastających argumentach.

Definicja

Niech
będzie funkcją, Z podzbiorem jej dziedziny. Mówimy, że funkcja f jest w zbiorze Z

1. rosnąca, gdy dla każdych
:

2. ściśle rosnącą, gdy dla każdych
:

3. malejąca, gdy dla każdych
:

4. ściśle malejąca, gdy dla każdych
:

5. stała, gdy dla każdych
mamy, że
.

Parzystość, nieparzystość

Przez parzystość i nieparzystość funkcji rozumiemy jej symetrie, odpowiednio względem osi OX oraz początkiem układu współrzędnych.

Definicja

Niech
będzie funkcji. Nazywamy ją parzystą, jeżeli:

a nieparzystą, gdy:

Definicja 1 (Funkcja parzysta) Fukcje f : X ! Y nazywamy parzysta

jezeli dla kazdego argumentu x 2 X spełniony jest warunek:

f(−x) = f(x)

Definicja 2 (Funkcja nieparzysta) Fukcje f : X ! Y nazywamy nieparzysta

jezeli dla kazdego argumentu x 2 X spełniony jest warunek:

f(−x) = −f(x)

Definicja 3 (Funkcja róznowartosciowa (jednoznaczna, iniekcja)) Niech

bedzie dana funkcja f : X ! Y , wówczas dla kazdej pary argumentów

x1, x2 2 X spełniony jest warunek:

x1 = x2 ) f(x1) = f(x2)

Granica ciągu liczbowego

Liczbę g nazywamy granicą ciągu (a_n) przy n → +∞, wtedy i tylko wtedy gdy w dowolnym otoczeniu liczby g leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdego n ∈ N⁺ jest spełniona nierówność a_n+1 > a_n.

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdego n ∈ N⁺ jest spełniona nierówność a_n+1 < a_n.

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem stałym, wtedy i tylko wtedy, gdy a_n+1 = a_n

Definicja 1 Funkcja f jest ciagła w punkcie c wtedy i tylko wtedy, gdy:

8_>09_>08x2O(c,r) [(|x − c| < _) ) (|f(x) − f(c)| < _)]

Zas korzystajac z definicji granicy według Heinego, funkcje ciagła w punkcie

mozna zapisac w sposób nastepujacy:

Definicja 2 Funkcja f jest ciagła w punkcie c wtedy i tylko wtedy, gdy:

8(xn),{xn}_O(c,r) [( lim

n!1

xn = c) ) ( lim

n!1

f(xn) = f(c)).]

Pochodna funkcji w punkcie.
    Granicę właściwą (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego  
  dla
 dążącego do zera
 nazywamy pochodną funkcji
 w punkcie
 i oznaczamy symbolem
.

      Jeśli funkcja
 określona w pewnym otoczeniu punktu
 ma pochodną w tym punkcie, to mówimy, że funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
.

Definicja. Funkcja F jest funkcja pierwotna funkcji f w przedziale I,

jezeli dla kazdego x 2 I zachodzi równosc

F0(x) = f(x):

---