WIMiR. Zad. na 6.12.2011

1. Punkt materialny o masie m, początkowo znajdujący się w spoczynku, zaczyna
   ześlizgiwać się po doskonale gładkiej powierzchni kuli o promieniu r. Mierząc kąt
   od pionu, a energię potencjalną względem wierzchołka, określić:

1. zmianę energii potencjalnej i kinetycznej punktu w zależności od kąta;

2. przyśpieszenie dośrodkowe i styczne jako funkcję kąta;

3. kąt przy którym punkt materialny odpadnie od kuli.

2. Blok o masie 20 kg, znajdujący się na poziomej płaszczyź­nie, połączono z poziomą sprężyną o stałej sprężystości k = 4 kN/m. Sprężynę rozciągnięto o 10 cm od długości, gdy nie jest odkształcona, przesuwając blok w prawą stronę. Następnie nieruchomy blok puszczono swobodnie. Między blokiem w ruchu a powierzchnią działa siła tarcia o wartości 80 N.

a) Oblicz energię kinetyczną bloku po przebyciu przez niego drogi 2 cm od punktu zwolnienia,

b) Oblicz energię kinetyczną bloku przy pierwszym przejściu przez punkt, w którym sprężyna jest nieodkształcona.

c) Wyznacz największą energię kinetyczną bloku uzyskaną przez niego podczas ruchu od punktu zwolnienia do punktu, w którym sprężyna jest nieodkształcona.

3. .(a) Jaka siła odpowiada energii potencjalnej U= -ax²+bxy+z ?

(b) Energia potencjalna, odpowiadająca pewnemu dwuwymiarowemu polu sił, wyraża się wzorem: U(x,y)= k(x²+y²). (i) Wyznaczyć F_x i F_y oraz przedstawić wektor siły w każdym punkcie przy pomocy współrzędnych x i y.

4. Na ciało o masie 20 kg działa siła zachowawcza dana wzorem F = -3x -5x², gdzie F jest wyrażone w niutonach, a x w metrach. Przyjmij, że związana z tą siłą energia potencjalna ciała jest równa zeru, gdy ciało znajduje się w punkcie x = 0. a) Ile wynosi energia potencjalna, gdy ciało znajduje się w punkcie x = 2 m? b) Jaką wartość będzie mieć prędkość tego ciała w punkcie x = 0, jeśli jego prędkość w punkcie x = 5 m ma wartość 4 m/s i jest skierowana w ujemnym kierunku osi x?