Sporządźmy częściową tabelkę, ukazującą wartości funkcji
dla kilku kolejnych argumentów.
Wykres funkcji kwadratowej
Kolejno wymienione kroki pomogą w narysowaniu wykresu paraboli.
Sporządźmy częściową tabelkę, ukazującą wartości funkcji
dla kilku kolejnych argumentów.
x |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
y = x2 |
16 |
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
Otrzymujemy kilka par współrzędnych x i y. Punkty te nanosimy na układ współrzędnych, uzyskując wykres:
Stwórzmy kolejną tabelkę dla funkcji
x |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
y = − x2 |
-16 |
-9 |
-4 |
-1 |
0 |
-1 |
-4 |
-9 |
-16 |
Podobnie, nanosimy wartości na układ współrzędnych i otrzymujemy wykres:
Wykres ten jest "odbitym" wykresem funkcji y = x2 , symetrycznie względem osi OX.
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
Jest to przekształcona postać ogólna funkcji kwadratowej. Znacznie ułatwia rysowanie wykresu funkcji. Równanie postaci kanonicznej:
gdzie:
, natomiast
,
wartości p i q nie są bez znaczenia - są to jednocześnie współrzędne wierzchołka paraboli
, czyli Xw = p, Yw = q.
Inaczej mówiąc, jest to rodzaj równania, które zawiera w sobie informacje na temat położenia wierzchołka paraboli. Postać kanoniczna jest równoznaczna postaci ogólnej - przykładowo, funkcje f(x) = 2x2 − 4x + 7 i f(x) = 2(x − 1)2 + 5 są sobie równe - można z jednego wzoru uzyskać drugi. Dotyczą więc tej samej funkcji, choć o dwóch różnych zapisach.
Aby narysować wykres funkcji, mając do dyspozycji postać kanoniczną, wystarczy wykes y = ax2 przesunąć o wektor
.
Dowód (informacje dodatkowe)
Aby udowodnić równość postaci ogólnej i kanonicznej, porównajmy obie do siebie:
ax2 + bx + c = a(x − p)2 + q
ax2 + bx + c = a(x2 − 2xp + p2) + q
ax2 + bx + c = ax2 − 2apx + ap2 + q
Przyjrzyjmy się - mamy równanie, z którego musimy wyrugować p oraz q. Po prawej stronie mamy odpowiednio współczynniki: A=0 (x2 nie występuje), B = − 2ap (czyli wyraz przy x), C = ap2 + q (wyraz wolny). Całe równanie będzie prawidłowe, gdy współczynnik b po lewej stronie będzie równy współczynnikowi b po prawej stronie. Podobnie ze współczynnikiem c - współczynnik po obu stronach musi być równy. Tworzymy w ten sposób układ równań, który wygląda następująco:
Aby znaleźć minimum oraz maksimum funkcji w danym przedziale <a, b>:
znajdujemy trzy wartości y: f(a), f(b), q
obliczamy p. Jeżeli wartość p nie należy do przedziału <a,b> - oznacza to, że wierzchołek jest poza podanym przedziałem, odrzucamy go (ignorujemy wartość q)
największą z uzyskanych wartości f(a), f(b) oraz (jeśli nie odrzuciliśmy) q przyporządkujemy maksimum, a najmniejszą - minimum.
