POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT FIZYKI	SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR 79 TEMAT : Wyznaczanie promieni soczewki i długości fali świetlnej za pomocą pierścieni Newtona.
ANNA SIKORA WYDZ. : IZ ROK : II	DATA : OCENA :

0. Wstęp.

Celem przeprowadzonego ćwiczenia było :

- poznanie zjawiska interferencji występującego w klinie optycznym (tzw. prążki równej

grubości);

- wykorzystanie tego zjawiska do celów pomiarowych.

1. Opis zjawiska.

Wiązka światła padając na powierzchnię rozgraniczającą dwa różne ośrodki (różniące się współczynnikami załamania), wówczas część światła odbija się, pozostała zaś część przechodzi do drugiego ośrodka. Jeżeli dwie takie powierzchnie tworzą klin, to wiązki odbite od tych powierzchni , jako pochodzące od tego samego źródła (spójne - stała różnica faz), wzajemnie ze sobą interferują. Przykładem takiego klina jest powietrzny klin interferencyjny, utworzony między dwoma wewnętrznymi powierzchniami P1 i P2 płaskorównoległych płytek szklanych. We wszystkich punktach powierzchni P1 dochodzi do nałożenia się obu fal odbitych. Amplituda zinterferowanych fali w A` zależy od różnicy faz obu promieni, a więc od różnicy ich dróg optycznych.

Zakładając, że kąt klina jest bardzo mały, a równoległa wiązka światła monochromatycznego pada na powierzchnię klina prostopadle, można obliczyć różnicę dróg optycznych między interferującymi promieniami. Oznaczając grubość klina w danym miejscu przez h₁ , otrzymamy :

  2h₁ + /2 --> [Author:AS]

W tych miejscach klina, w których

  (2k+1) /2 k = 0,1,2,...,n

nastąpi na skutek interferencji wygaszenie światła. Natomiast tam. gdzie

  (k+1) k = 0,1,2,...,n

nastąpi interferencyjne wzmocnienie światła. W klinie, którego obie powierzchnie są płaskie, zaobserwujemy kolejno na przemian jasne i ciemne prążki. Każdy prążek jest miejscem geometrycznym równo odległych punktów obu powierzchni klina i stąd nazwa „prążki równej grubości.

W klinie odległość wzajemna prążków jest jednakowa i jej wielkość zależy od wielkości kąta klina. Deformacja prostoliniowego przebiegu prążków świadczy o odstępstwie od płaskości powierzchni.

Prążki interferencyjne równej grubości najłatwiej zaobserwować umieszczając na płaskiej płytce szklanej wypukło - sferyczną soczewkę. Tworzy się wtedy między powierzchnią płytki a powierzchnią soczewki klin powietrzny o zmiennym kącie ( Rys.1 ). Prążki interferencyjne powstające w takim klinie - prążki Newtona - będą miały kształt kolisty. W miarę wzrostu odległości od środkowego ciemnego (zerowego) prążka, utworzonego w miejscu styku obu powierzchni, kolejne prążki coraz bardziej się zagęszczają, aż przestaną w ogóle zauważalne.

Rys.1

.

2. Wzór końcowy.

W ćwiczeniu prążki Newtona wykorzystuje się do wyznaczania promienia krzywizny R soczewki. Należy zatem zmierzyć promień r­­_k dowolnego k-tego ciemnego prążka oraz znać długość fali  użytego światła.

Promień krzywizny R obliczamy ze wzoru na promień R czaszy sferycznej o promieniu podstawy r_k i wysokości czaszy h_k :

R = ( r_k² + h_k² ) / ( 2*h_k )

Dla dużych wartości R wzór ten można uprościć :

R = r_k² / ( 2*h_k )

Ponieważ

h_k = ( k* ) / 2

wobec tego otrzymujemy końcowy wzór na promień krzywizny soczewki :

R = r_k² / ( k*  )

r_k - promień k-tego prążka

k - numer prążka

 - długość fali

Promień r_k możemy obliczyć ze wzoru :

r_k = 1/2 ( a_k^l - a_k^p )

gdzie a_k - wskazania czujnika.

Zatem, uwzględniając we wzorze na promień krzywizny soczewki wielkości mierzone, przyjmuje on postać :

R = (a_k^l - a_k^p )² / (4*k*  ).

Na podstawie powyższych wzorów obliczymy także długość fali :

 = r_k² / ( k*R ) = (a_k^l - a_k^p )² / (4*k* R ).

3. Układ pomiarowy.

Do wygodnej obserwacji prążków oraz pomiaru ich średnicy w ćwiczeniu wykorzystano mikroskop. Na stoliku umieszcza się płaską płytkę P i mierzoną soczewkę L₀ . Są one oświetlone przez obiektyw mikroskopu równoległą wiązką światła monochromatycznego za pomocą soczewki i półprzepuszczalnego zwierciadła Z, umieszczonego nad obiektywem mikroskopu. Okular ma krzyż celowniczy, na który ustawia się wybrany obraz prążka. Ustawienie to i pomiar r_k umożliwia przesuwny stolik mikroskopu, którego przesuw jest mierzony za pomocą czujnika zegarowego. Mała wskazówka tego czujnika wskazuje milimetry, a duża - setne części .

4. Tabelka pomiarów.

WYZNACZANIE PROMIENIA KRZYWIZNY SOCZEWKI :

Filtr IF 575

  575 nm

k	ak­^(l) [mm]			ak^(p) [mm]			rk [mm]	R [mm]
1	3.61	3.61	3.61	2.24	2.21	2.22	0.69(3)	836.019
2	3.84	3.845	3.83	1.96	1.94	1.94	0.9458(3)	777.913
4	4.19	4.19	4.18	1.61	1.57	1.59	1.298(3)	732.899

Filtr IF 650

  650 nm

k	ak­^(l) [mm]			ak^(p) [mm]			rk [mm]	R [mm]
1	3.57	3.545	3.54	2.04	2.025	2.01	0.76(3)	896.427
2	3.83	3.82	3.835	1.745	1.72	1.70	1.05(3)	853.470
4	4.20	4.20	4.21	1.37	1.365	1.35	1.4208(3)	776.449

POMIAR DŁUGOŚCI FALI ŚWIETLNEJ

Filtr interferencyjny nr 1

k	ak­^(l) [mm]			ak^(p) [mm]			rk [mm]	 [nm]
1	3.39	3.39	3.391	2.11	2.13	2.12	0.6351(6)	496.727
2	3.63	3.69	3.629	1.845	1.84	1.83	0.905(6)	504.947
4	3.97	3.98	3.96	1.52	1.48	1.485	1.2375	471.378

Filtr interferencyjny nr 4

k	ak­^(l) [mm]			ak^(p) [mm]			rk [mm]	 [nm]
1	3.40	3.42	3.40	2.05	2.025	2.01	0.6891(6)	584.772
2	3.64	3.665	3.66	1.76	1.73	1.755	0.95(3)	559.498
4	4.00	4.10	4.022	1.42	1.405	1.42	1.3128(3)	530.516

5. Przykładowe obliczenia.

Obliczanie promienia krzywizny soczewki :

  575 nm

Wybieramy przykładowy prążek , np.k=4

Z tabelki odczytujemy wyniki pomiarów - wskazania czujnika - a₄^l i a₄^p . Następnie obliczamy ich średnią arytmetyczną.

a₄^l = 1/3 ( 4.19 + 4.19 + 4.18 ) = 4.18(6) [mm]

a₄^p = 1/3 ( 1.61 + 1.57 + 1.59 ) = 1.59 [mm]

Podstawiając dane do wzoru na k-ty promień krążka otrzymujemy :

r₄ = 1/2 ( 4.18(6) - 1.59 ) = 1.298(3) [mm]

Mając teraz wszystkie dane obliczamy promień krzywizny soczewki :

R = (r_k)² /( k**10^-6 ) [mm]

R = 1.6856694 / ( 4*575*10^-6 ) = 0.0007328997*10^-6 = 732.8997 [mm]

Przy dalszych obliczeniach postępujemy identycznie.

k = 1

a₁^l = 1/3 ( 3.61 + 3.61 + 3.61 ) = 3.61 a₁^p = 1/3 ( 2.24 + 2.21 + 2.22 ) = 2.22(3)

r₁ = 1/2 ( 3.61 - 2.22(3) ) = 0.69(3)

R = 0.4807(1) / (575*10^-6) = 0.000836019*10^-6 = 836.019 [mm]

k = 2

a₂^l = 1/3 ( 3.84 + 3.845 + 3.83 ) = 3.838(3) a₂^p = 1/3 ( 1.96 + 1.94 + 1.94 ) = 1.94(6)

r₂ = 1/2 ( 3.838(3) - 1.94(6) ) = 0.9458(3)

R = 0.89460069 / (2*575*10^-6) = 0.0007779136*10^-6 = 777.9136 [mm]

Dla   650 nm

k = 1

a₁^l = 1/3 ( 3.57 + 3.545 + 3.54 ) = 3.551(6) a₁^p = 1/3 ( 2.04 + 2.025 + 2.01 ) = 2.025

r₁ = 1/2 ( 3.551(3) - 2.025 ) = 0.76(3)

R = 0.5826(7) / (650*10^-6) = 0.0008964273*10^-6 = 896.4273 [mm]

k = 2

a₂^l = 1/3 ( 3.83 + 3.82 + 3.835 ) = 3.832(3) a₂^p = 1/3 ( 1.745 + 1.72 + 1.7 ) = 1.721(6)

r₂ = 1.05(3)

R = 1.1095(1) / (2*650*10^-6) = 0.00085347*10^-6 = 853.47 [mm]

k = 4

a₄^l = 1/3 ( 4.2 + 4.2 + 4,21 ) = 4.20(3) a₄^p = 1/3 ( 1.37 + 1.365 + 1.35 ) = 1.361(6)

r₄ = 1.4208(3)

R = 2.018767 / (4*650*10^-6) = 0.0007764489*10^-6 = 776.4489 [mm]

Średnia wartość R dla  = 575 nm

R = 1/3 ( 836.019 + 777.9136 + 732.8997 ) = 782.2765(3) [mm]

Średnia wartość R dla  = 650 nm

R = 1/3 ( 896.4273 + 853.47 + 776.4489 ) = 842.11544(6) [mm]

Zatem końcowe R obliczymy ponownie uśredniając otrzymane wyniki :

R = 1/2 ( 782.2765(3) + 842.11544(6) ) = 812.1959 [mm]

Obliczanie długości fali świetlnej :

Tu zmienia się jedynie wzór końcowy :

  (r_k)² / ( k*R ).

R - wyliczony wcześniej promień krzywizny soczewki

Filtr nr 1

k = 1

a₁^l = 1/3 ( 3.39 + 3.39 + 3.391 ) = 3.390(3) a₁^p = 1/3 ( 2.11 + 2.13 + 2.12 ) = 2.12

r₁ = 0.6351(6)

 = 0.40344 / ( 812.1959 ) = 0.000496727 [mm] = 496.727 [nm]

k = 2

a₂^l = 1/3 ( 3.63 + 3.69 + 3.629 ) = 3.649(6) a₂^p = 1/3 ( 1.845 + 1.84 + 1.83 ) = 1.838(3)

r₂ = 0.905(6)

 = 0.82023 / ( 2*812.1959 ) = 0.000504947 [mm] = 504.947 [nm]

k = 4

a₄^l = 1/3 ( 3.97 + 3.98 + 3.96 ) = 3.97 a₄^p = 1/3 ( 1.52 + 1.48 + 1.485 ) = 1.495

r₄ = 1.2375

 = 1.5314 / (4*812.1959) = 0.000471378 [mm] = 471.378 [nm]

Średnia wartość długości fali :

 = 1/3 ( 496.727 + 504.947 + 471.378 ) = 491.017(3) [nm]

Filtr nr 4

k = 1

a₁^l = 1/3 ( 3.4 + 3.42 + 3.4 ) = 3.40(6) a₁^p = 1/3 ( 2.05 + 2.025 + 2.01 ) = 2.028(3)

r₁ = 0.6891(6)

 = 0.47495 / ( 812.1959) = 0.000584772 [mm] = 584.772 [nm]

k = 2

a₂^l = 1/3 ( 3.64 + 3.665 + 3.66 ) = 3.655 a₂^p = 1/3 ( 1.76 + 1.73 + 1.755 ) = 1.748(3)

r₂ = 0.95(3)

 = 0.90884 / (2*812.1959) = 0.000559498 [mm] = 559.498 [nm]

k = 4

a₄^l = 1/3 ( 4 + 4.1 + 4.022 ) = 4.040(6) a₄^p = 1/3 ( 1.42 + 1.405 + 1.42 ) = 1.415

r₄ = 1.3128(3)

 = 1.72353 / (4*812.1959) = 0.000530516 [mm] = 530.516 [nm]

Średnia wartość długości fali :

 = 1/3 ( 584.772 + 559.498 + 530.516 ) = 558.262 [nm]

6. Dyskusja błędów.

Wykorzystane w doświadczeniu przyrządy pomiarowe były niedokładne w porównaniu z wielkością obserwowanych obiektów. Możliwy był też niezbyt precyzyjny odczyt wskazań czujnika oraz ustawienie krzyża na środku danego prążka. Wszystkie te czynniki ujemnie wpływają na dokladność pomiarów mierzonych wielkości. Należy też zauważyć, iż występująca we wzorze na promień krzywizny soczewki długość fali  była wcześniej zmierzona również z pewnym błędem.

Obliczanie błędu bezwzględnego promienia R :

Błąd uzależniony jest bezpośrednio od pomiaru a_k^l i a_k^p . Wiedząc, że

dR = d(r_k²) / ( k* )  ( 2*r_k*dr_k ) / ( k* )

oraz

dr_k = 1/2 ( da_k^l - da_k^p )

otrzymujemy :

dR = r_k*( da_k^l - da_k^p ) / ( k* ) - błąd bezwzględny promienia R

Musimy teraz policzyć da_k^l i da_k^p . Korzystamy z metody Studenta - Fishera, gdyż mamy do czynienia z niewielką ilością pomiarów. Do obliczeń wybrałam prążek k = 4 i długość fali  = 575 nm, ilość pomiarów N = 3.

Podajemy średnią arytmetyczną wskazań czujnika. Wartości te - a_k^l i a_k^p - są pobrane z wcześniejszych obliczeń :

a₄^l = 4.19 mm a₄^p = 1.61 mm

a₄^l = 4.19 mm a₄^p = 1.57 mm

a₄^l = 4.18 mm a₄^p = 1.59 mm

śr a₄^l = 4.18(6) mm śr a₄^p = 1.59 mm

Przyrosty :

Δa₄^l = śr a₄^l - a₄^l Δa₄^l = 0.003 ; 0.003 ; 0.007

Δa₄^p = śr a₄^p - a₄^p Δa₄^p = 0.02 ; 0.02 ; 0

Następnie obliczamy odchylenie standardowe średniej ze wzoru :

σ = ( ∑ ( Δa₄^l )² / ( N*(N-1) ) )^1/2 dla a₄^l

σ = ( 1/6 ( 0.000009 + 0.000009 + 0.000049 ) )^1/2 = 0.0033416

σ = ( ∑ ( Δa₄^p )² / ( N*(N-1) ) )^1/2 dla a₄^p

σ = ( 1/6 ( 0.0004 + 0.0004 ) )^1/2 = 0.011547

Wybierając teraz z tabeli współczynników Studenta - Fishera poziom ufności  = 0.99 otrzymuję t_N, = 9.9. Zatem szerokość przedziału ufności jest następująca :

dla a₄^l t_N, * σ = 9.9*0.0033416 = 0.033

dla a₄^p t_N, * σ = 9.9*0.011547 = 0.1143

co automatycznie jest równe odpowiednio da_k^l i da_k^p.

Podstawiając teraz do wzoru na błąd promienia obliczam :

dR = ( 1.298(3)*0.2157 ) / ( 4*575*10^-6 ) = 121.76108 [mm].

Taki jest zatem błąd pomiaru promienia krzywizny soczewki.

Ostatecznie obliczamy błąd względny R 

  ( dR ) / R

  15%

Obliczanie błędu bezwzględnego długości fali 

Błąd jest uzależniony od pomiarów a_k^l i a_k^p i należy także uwzględnić błąd dR obliczony wcześniej. Otrzymujemy zatem dla k = 4 :

d   ( 2*r₄*dr₄ ) / ( k*R ) - ( r₄²*dR ) / ( k*R²)

Mamy : r₄ = 1.3128(3)

dr₄ = ( da₄^l - da₄^p ) / 2

Obliczamy da_k^l oraz da_k^p tak jak poprzednio metodą Studenta-Fishera i otrzymujemy :

da_k^l = 0.3002

da_k^p = 0.0495

Czyli d   nm]

Ostatecznie obliczamy błąd względny  

  ( d  ) / 

  22%

7. Wnioski.

W doświadczeniu wyznaczaliśmy promień krzywizny R oraz długość fali światła przepuszczonego przez monochromatyczny filtr. Jak widać każda długość fali posiada określoną ilość prążków interferencyjnych. Dzięki interferencji możemy wyznaczyć długość fali światła, która uległa temu zjawisku. Wyznaczenie promienia krzywizny soczewki nie jest zbyt trudne. Wystarczający jest zestaw złożony z mikroskopu oraz ze źródła światła o znanej długości fali. Można także zauważyć, że odległość między prążkami zależy od kąta klina, ponieważ gdy kąt klina jest stały to odległość między prążkami jest stała. Natomiast w naszym doświadczeniu odległość między prążkami malała. Spowodowane to było tym, iż kąt klina jest zmienny, gdyż użyta soczewka była wypukła.

---