Relacje równoważnościowe

1. Znajdź domknięcie tranzytywne określonej na X = {a, b, c, d, e} relacji R = {(a ,a), (b, d), (e, d), (c, a), (e, c), (d, a)}.

2. Na zbiorze X określona jest relacja R, która spełnia następujące warunki: (1) R^-1 ⊂ R; (2) R ◦ R ⊂ R; (3) ∀x ∃y∈Y (x,y)∈R. Wykaż, że R jest relacja równoważnościową.

3. Funkcja f, określona na zbiorze X, przekształca X w Y. Definiujemy na X relację:

Wykaż, że R jest relacją równoważnościową.

Wykaż, że odwzorowanie F: X//R→Y, dane wzorem: F([x]) jest 1° poprawnie zdefiniowane, 2° injekcją.

4. W przestrzeni X wszystkich ciągów rzeczywistych wprowadzono następujące relacje: (1) (x_n)R(y_n) ⇔ ∀N ∃n>N x_n = y_n; (2) (x_n)r(y_n) ⇔ ∃N ∀n > N x_n = y_n.

(3) (x_n)ρ(y_n) ⇔ ∀n x_n ≤ y_n.

Które z powyższych relacji są relacjami równoważnościowymi?

5. Niech m będzie liczbą naturalną większą od 1. Na zbiorze N_o = {0, 1, 2, 3, …} definiujemy relację: p ≡ q ⇔ m|(q - p).

a) Wykaż, że jest to relacja równoważnościowa. Opisz jej klasy równoważności. Ile jest tych klas?

b) Wykaż, że ta relacja jest zgodna z działaniami (dodawaniem i mnożeniem), tzn.

i analogicznie dla mnożenia.

6. Dla pewnego zbioru X określamy relację „~” na P(X) :

A ~ B ⇔ istnieje odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne ϕ: A→B.

Wykaż, że jest to relacja równoważnościowa.