Funkcja kwadratowa

1. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji (a) f(x) = -x² + 4x + 1 dla x ∈<0;3> (b) f(x)= x² - 4x + 1 dla x ∈ <0;3> (c) f(x) =
   dla x∈<-1; 3> (d) f(x) =
   dla x ∈ <0;2>.

2. Dla jakiej wartości α równanie
   =cosα ma tylko jeden pierwiastek?

3. Oblicz b jeżeli pierwiastki równania 5x² + bx + 15 = 0 są liczbami całkowitymi.

4. Wyznaczyć p i q tak, by suma kwadratów pierwiastków równania x² + px + q = 0 była równa 10, natomiast suma ich odwrotności 4/3.

5. Rozwiąż równanie: (a)x² - 5|x| + 4 = 0 ; (b)x² - 4x + |x-3| + 3 = 0 (c)
   =|x| (d)
   =x (e)2
   =x+2 (f)
   =x-2 (g)
   (h)4
   =|x+1| +4 (i)2x² + 3x - 5
   + 3 = 0 (j)(9-x²)
   =0 (k)x²+
   =2(1+2x) (l)
   (|x-1|-4)=0

6. Rozwiąż równanie, w którym a jest parametrem: (a)
   (b)
   

7. Znajdź liczbę pierwiastków w zależności od parametru a
   

8. Wiadomo, że x+y=2 i x+z = 1. Oblicz najmniejszą wartość wyrażenia 2x³ + y³ + z³ .

9. Dla jakich wartości parametru m równanie ma jedno rozwiązanie? (a) mx² - 3x +m=0 (b)(4m+1)x² - (4m-11)x + m-1 = 0 (c)(m-1)x² - 2(m+3)x + m - 3 = 0

10. Oblicz c, jeśli jeden z pierwiastków równania ax² + bx + c = 0 jest równy
    

11. Dla jakich wartości parametru a jeden z pierwiastków równania 4x² - 15x + 4a = 0 jest kwadratem drugiego?

12. Dla jakich wartości parametru m równania mają wspólny pierwiastek? (a) x² + x - m = 0 i x² + 2x + m = 0 (b)2x² - (3m+2)x + 12 = 0 i 4x² - (9m-2)x + 36 = 0; (c)x² + mx + 1 = 0 i x² + x + m = 0

13. Liczby a i b są pierwiastkami równania x² + 2x - 5 = 0. Napisz równanie, którego pierwiastkami są liczby: (a)a+b i ab (b)
    

14. Dla jakich wartości m liczba 1 zawiera się między różnymi pierwiastkami równania (m-4)x² - 4x + m - 3 = 0 ?

15. Dla jakich wartości m równanie x² - (2m-1)x + m² - 4 = 9 ma dwa różne pierwiastki mniejsze od 4?

16. Dla jakich wartości m pierwiastki równania x² + (3m-2)x + m + 2 = 0 spełniają warunek x₁² + x₂² > 1?

17. Dla jakich wartości m pierwiastki równania x² + (m+1)x + 1 = 0 spełniają warunek x₁² + x₂² < 3x₁x₂ ?

18. Dla jakich wartości m pierwiastki równania (2m-3)x² + 4mx + m - 1 = 0 spełniają warunek -mx₁x₂ < x₁ + x₂ ?

19. Dla jakich wartości m pierwiastki równania x² - (m+1)x +
    =0 są równe sinusowi i cosinusowi tego samego kąta ostrego?

20. Dla jakich wartości m oba pierwiastki równania x² + (2m+6)x + 4m + 12 = 0 s a większe od -1?

21. Dla jakich wartości m dwa różne pierwiastki rzeczywiste równania x² - 2mx + m² - 1 = 0 należą do (-2; 4)?

22. Dla jakich wartości m∈ <0 ; π/2> równanie x²∙sinm + x + cosm = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?

23. Dla jakich wartości m równanie |x-1| = m² - 4m - 1 ma dwa pierwiastki dodatnie?

24. Dla jakich wartości m najmniejsza wartość funkcji f(x) = x² - x - 2m + ¼ należy do przedziału <1;4>?

25. Dla jakich wartości m funkcja y = x² + mx + m² + 6m ma wartość ujemną dla dowolnego x∈(2;3)?

26. Dla jakich wartości m równanie 2x² - (m-1)x +m+1=0 ma pierwiastki spełniające warunek |x₂ - x₁| = 1?

27. Dla jakich wartości m pierwiastki równania
    spełniają nierówność
    ?

28. Dla jakich wartości m suma kwadratów pierwiastków równania x² + (m-3)x + m - 5 = 0 jest najmniejsza?

29. Dla jakich wartości m nierówność jest spełniona dla każdego x? (a) (m²-1)x² + 2(m-1)x + 2 > 0 (b) (m-2)x² - |m-2|x + 2 > 0

30. Dla jakich wartości m nierówność |x-m| < 2 - m² jest spełniona przez co najmniej jedną liczbę ujemną?

31. Udowodnić, że jeśli x² + y² = 1 to -
    ≤x+y≤
    

32. Udowodnić, że jeśli m>0 to m +
    

33. Niech x+y =2. Wykazać, że (a) x² + y² ≥ 2 (b)x⁴ + y⁴ ≥ 2 (c)x⁸ + y⁸ ≥ 2.

34. Rozwiąż graficznie i algebraicznie układ : (a)
    (b)
    (c)
    (d)
    (e)
    

35. Dla jakich wartości parametru m układ ma dokładnie jedno rozwiązanie? (a)
    (b)
    (c)
    (d)
    (e)
    (f)
    

36. Zbadaj liczbę rozwiązań układu w zależności od m (a)
    (b)
    (c)
    (d)
    

---