RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Częstość zdarzeń:

Takie doświadczenie, które może zakończyć się jednym z możliwych wyników:₁, ₂, ₃, ..., ale nie wiadomo którym i przewidzenie tego jest praktycznie lub teoretycznie niemożliwe, natomiast częstości tych wyników przy wielokrotnym powtarzaniu tego doświadczenia wydają się przewidywalne, nazywamy doświadczeniem losowym (krótko: doświadczeniem).

Jeśli wśród n powtórzeń doświadczenia D wynik pojawił się k razy (n N₊, k N, k<n), to przez częstość tego wyniku wśród n powtórzeń doświadczenia D rozumiemy liczbę 
.

Zdarzenia elementarne:

Pojęciem pierwotnym rachunku prawdopodobieństwa jest pojęcie zdarzenia elementarnego.

Wszystkie zdarzenia elementarne tworzą zbiór zwany zbiorem zdarzeń elementarnych. Zbiór zdarzeń elementarnych oznaczamy  .

Zdarzenie niemożliwe jest to zdarzenie, które nie zachodzi nigdy i oznaczamy je  .

Algebra zdarzeń:

Sumą zdarzeń A i B nazywamy takie zdarzenie C, które zachodzi wtedy i tylko wtedy kiedy zachodzi zdarzenie A lub zdarzenie B. (A B)

 A B A  B

Iloczynem zdarzeń A i B nazywamy takie zdarzenie C, które zachodzi wtedy i tylko wtedy kiedy zachodzi zdarzenie A i zdarzenie B. (A B)

 A B A  B

Różnicą zdarzeń A i B nazywamy takie zdarzenie C, które zachodzi wtedy i tylko wtedy kiedy zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B. (A\B)

 A\B A  B

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie A' polegające na tym, że nie zaszło zdarzenie A.

A'= \A

Zdarzenia A i B wyłączają się wtedy i tylko wtedy jeśli iloczyn ich jest zdarzeniem niemożliwym. (A B= )

Prawdopodobieństwo:

Funkcję P, która każdemu zdarzeniu A E przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę P(A) spełniającą nastepujące warunki:

1. 0  P(A)  1

2. P(E)=1

3. jeżeli zdarzenia A, B wykluczają się to P(A B)=P(A)+P(B),

nazywamy prawdopodobieństwem. Liczbę p=P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.

Własności prawdopodobienstwa:

P( )=0

P(A)=1-P(A)

A B P(A) P(B)

(A=B) [P(A)=P(B)]

P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)

Jeżeli zbiór E składa się z n zdarzeń elementarnych jednakowo możliwych i wśród nich jest dokładnie m zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A, to liczbę

nazywamy prawdopodobienstwem zdarzenia A. (definicja klasyczna).

Prawdopodobieństwo warunkowe:

Niech para ( ,P) będzie przestrzenią probabilistyczną, natomiast A i B dowolnymi podzbiorami zbioru  . Ponadto niech P(A)>0.

Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia B pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:

Oznaczamy ją P(B A).

P(B A)=P(A)*P(B A)

Prawdopodobieństwo całkowite:

Jeżeli para ( , P) jest przestrzenią probabilistyczną, natomiast B₁, B₂,...,B_n (n N₊) są dowolnymi zdarzeniami o następujących własnościach:

B_iB_j= dla i j (i, j  {1,2,...,n})

B_1B_2.. B_n=

P(B_i)>0 dla każdego i {1,2,...,n}

to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór:

P(A)=P(B₁)*P(A B)+P(B₂)*P(A B₂)+...+P(B_n)*P(A B_n)

Zdarzenia niezależne:

Niech para ( , P) będzie przestrzenią probabilistyczną, natomiast zdarzenia A i B są dowolnymi zdarzeniami przestrzeni  .

Zdarzenia A i B nazywamy zdarzeniami niezależnymi jeśli P(A B)=P(A)*P(B).

Niezależność trójki zdarzeń:

Niech para ( , P) będzie przestrzenią probabilistyczną, natomiast zdarzenia A, B i C są dowolnymi podzbiorami zbioru  .

Zdarzenia A, B i C nazywamy zdarzeniami niezależnymi jeżeli zdarzenia A i B, A i C, B i C są niezależne i P(A B C)=P(A)*P(B)*P(C), czyli gdy:

P(A B)=P(A)*P(B)

P(A C)=P(A)*P(C)

P(B C)=P(B)*P(C)

P(A B C)=P(A)*P(B)*P(C)

Prawa dotyczące działań na zdarzeniach:

1. (A B)'=A' B'

2. (A B)'=A' B'

3. A\B=A B'

4. A =

5.A B A B=A oraz A B=B

6. A =A

7. A =

8. (A B) C=(A C)(B C)

Schemat Bernoulliego:

Schematem Bernoulliego nazywamy ciąg doświadczeń niezależnych, w których dane doświadczenie powtarzamy n-razy (n-liczba skończona) i w którym prawdopodobieństwo zdarzenia A (zdarzenie A-wynik doswiadczenia) jest stałe, nie zależy od wyników poprzednich.

Zajście zdarzenia A nazywamy sukcesem.

Zajście zdarzenia A' nazywamy porażką.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A - sukcesu oznaczamy p.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A' - porażki oznaczamy q.

p+q=1

q=1-p

W schemacie Bernoulliego o n próbach prawdopodobieństwo 
gdzie p jest prawdopodobieństwem sukcesu w próbie Bernoulliego, n N₊ i k {0,1,...,n}

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego:

Jeżeli (N+1)*p jest liczbą całkowitą to najbardziej prawdopodobne są wartości:

(N+1)*p i (N+1)*p-1

Jeżeli (N+1)*p nie jest liczbą całkowitą to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów w schemacie N prób Bernoulliego jest największa liczba calkowita K₀ i taka, że

K₀ < (N+1)*p

---