ZADANIA

Zadanie 1

Tabela pokazuje rozkład z prawdopodobieństwem wystąpienia stopni z egzaminu studenckiego:

Stopnie	2	3	4	5
Liczba studentów	44	26	24	46

Testujemy hipotezę o równomierności rozkładu występowania stopni

• Czy wartość sprawdzianu testu chi-kwadrat zgodności jest większa od 9,1

• Liczba stopni swobody rozkładu prawdopodobieństwa sprawdzianu testu wynosi 6

Zadanie 2

Niech obserwacje plonów owsa: 23 25 25 21 18 będą wartościami zmiennej losowej o rozkładzie normalnym. Hipoteza sprawdzianu głosi, że wartość oczekiwana plonów wynosi 22.

• Sprawdzian testu będący oceną standardowej postacią średniej arytmetycznej jest większy od 1,64

• Sprawdzian testu ma rozkład Studenta z 4 stopniami swobody

Zadanie 3

Wyznaczony z 10-elementowej próby współczynnik korelacji Spearmana między rangami kondycji finansowej firm odzieżowych a rangami ich popularnością na rynku wynosi 0,9

• Sprawdzian testu hipotezy o braku korelacji liniowej ma wartość mniejsza od 3,1

Zadanie 4

W 200-elementowej próbie gospodarstw domowych zaobserwowano w I i II miesiącu średnie wydatki równe odpowiednio 2000 i 2010. Odpowiednie wariancje: 5500 i 3200. Współczynnik korelacji wynosi -0,55. Testujemy hipotezę o równości wartości oczekiwanej wydatków.

• Sprawdzian testu będący modułem oceny standardowej postacią różnicy średnich arytmetycznych jest większy od 1,96

Zadanie 5

Niech obserwacje plonów pszenicy i dawek nawozów sztucznych w gospodarstwach rolnych są wartościami dwuwymiarowej zmiennej o rozkładzie normalnym. Wyznaczony z próby o liczebności 27 gospodarstw współczynnik korelacji wynosi -0,8. Weryfikujemy hipotezę o braku korelacji między plonami i nawożeniem.

• Wartość sprawdzianu testu na brak korelacji jest co do modułu mniejsza od 1,96

• Sprawdzian ten ma rozkład Studenta z 16 stopniami swobody

Zadanie 6

Hipoteza sprawdzana jest weryfikowana przy poziomie istotności 0,05. P-wartość testu statystycznego wynosi 0,02.

• Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej

Zadanie 7

Obserwacje (w m3) zużycia wody w 2-pokojowych mieszkaniach traktowane jako wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym są następujące: 2,2 2,5 2,1 2,6 2,3. Szacujemy wartość oczekiwaną za pomocą średniej z próby.

• Ocena odchylenia standardowego średniej z tej próby jest większe od 0,2

• Ocena względnego średniego błędu szacunku jest większa od 5%

• Ocena błędu średniego szacunku zużycia wody w populacji gospodarstw jest większa od 32,1

Zadanie 8

Plony żyta i koniczyny w gospodarstwach rolnych mają dwuwymiarowy rozkład normalny. Na podstawie próby prostej o liczebności 200 gospodarstw szacowano współczynnik korelacji liniowej między tymi plonami za pomocą współczynnika korelacji liniowej z próby który wynosi 0,8

• Czy błąd średni szacunku współczynnika korelacji za pomocą współczynnika korelacji z próby jest nie mniejszy od 0,015

Zadanie 9

Wariancje zmiennych losowych X i Y wynoszą 2 i 6, a współczynnik korelacji -0,9. Na podstawie próby o liczebności n=12 szacowano różnicę wartości oczekiwanej tych zmiennych za pomocą różnicy średnich z próby. Wtedy błąd szacunku oceny tej różnicy jest mniejszy od 0,4.

Zadanie 10

Błąd średniokwadratowy estymatora pewnego parametru wynosi 40, a wariancja jest równa 8. Wtedy obciążenie jest równe 2.

Zadanie 11

W próbie prostej 200 firm stwierdzono, że 10% spośród nich nie płaci podatku w terminie. W populacji jest 2000 firm.

• Ocena liczby firm płacących podatek w populacji wynosi 200

• Maksymalna wartość wariancji częstości z próby jest większa od 0,004

• Ocena błędu średniego szacunku częstości względnej z próby jest mniejsza od 0,01

TEORIA

1. Moc testu to prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju.

2. Jeśli U jest sprawdzianem testu Studenta dla pewnej hipotezy H0 : E(X)=0 względem hipotezy H1 : E(X)>0 oraz P{U>=uH0}=0,01 to przy poziomie istotności 0,02 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

3. Jeśli U jest sprawdzianem testu chi-kwadrat zgodności oraz P{U>=uKH0}=0,01 to przy poziomie istotności 0,05 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

4. Jeśli przy ustalonej liczebności próby zwiększamy poziom istotności testu dla pewnej hipotezy to moc tego testu nie maleje.

5. Jeśli przy ustalonej liczebności próby zwiększamy poziom istotności testu dla pewnej hipotezy to prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju nie rośnie.

6. Poziom istotności testu to prawdopodobieństwo nie popełnienia błędu II rodzaju.

7. Sprawdzian testu ilorazu wiarygodności ma lewostronny obszar krytyczny.

8. Sprawdzian testu sekwencyjnego Walda dla hipotez prostych jest ilorazem funkcji wiarygodności.

9. Sprawdzian testu sekwencyjnego Walda jest ilorazem momentów z próby.

10. Wartości krytyczne testu sekwencyjnego Walda dla hipotez prostych są funkcjami poziomów istotności i mocy tego testu.

11. Poziom istotności testu to prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju

12. Moc testu to prawdopodobieństwo nie popełnienia błędu II rodzaju.

13. Jeśli prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju jest nie większe od mocy testu to taki test jest nazywany nieobciążonym.

14. Test statystyczny jest zgodny jeśli jego moc zmierza do jeden, gdy liczebność próby zwiększa się do nieskończoności.

15. Średnia z próby prostej jest zgodnym estymatorem wartości oczekiwanej zmiennej losowej.

16. Mediana z próby prostej z rozkładu normalnego jest nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej.

17. Wartość estymatora metody największych wiarygodności maksymalizuje wartości funkcji wiarygodności próby.

18. Estymator otrzymany metodą momentów ma asymptotycznie rozkład normalny.

19. Metoda jacknife prowadzi do redukcji obciążenia estymatora.

20. Metoda bootstrap prowadzi do redukcji obciążenia estymatora.

21. Dominanta rozkładu a posteriori nie może być oceną nieznanej wartości parametru.

22. Wartość oczekiwana rozkładu a posteriori nie może być oceną nieznanej wartości parametru.

23. Mediana rozkładu a posteriori może być oceną nieznanej wartości paranetru.