Wyznaczanie odległości ogniskowych soczewek metodą Bessela

Własności soczewek skupiających i rozpraszających

Soczewka jest to substancja załamująca światło (najczęściej szkło), ograniczona dwoma powierzchniami kulistymi, parabolicznymi lub walcowymi. Prosta, która przechodzi przez środki krzywizn obu powierzchni, nazywamy osią główną. Soczewki ze szkła w środku grubsze - są skupiające (zbierające), soczewki cieńsze w środku niż na brzegach - są rozpraszające. Wiązka promieni równoległych do osi głównej po załamaniu w soczewce zbierającej zostaje zebrana w ognisku F, którego odległość od środka optycznego so­czewki nazywamy odległością ogniskową f. Środek optyczny soczewki ma tę właściwość, że wszystkie promienie padające na soczewkę, a skierowane na ten punkt, nie zmie­niają kierunku, lecz ulegają minimalnemu przesunięciu równoległemu. Odległość ogniskowa f jest wielkością charakteryzującą załamanie promieni w soczewce. Im to załamanie jest silniejsze, tym odległość ogniskowa jest krótsza, i odwrot­nie. W praktyce załamanie promieni w soczewkach określamy tzw. zdolnością zbie­rającą. Zdolność zbierającą D soczewek wyrażamy odwrotnością ogniskowej f, liczo­nej w metrach: D = 1/f. Jednostką jej jest dioptria, soczewka o odległości f = 1m. ma zdolność zbierającą równą 1 dioptrii.

Otrzymywanie obrazów za pomocą soczewek. Dyskusja wzoru 1/f =1/a+1/b

a) b)

Powstawanie obrazu w soczewce: a) skupiającej; b) rozpraszającej

Promienie wychodzące z dowolnego punktu A, wskutek ich zała­mania w soczewce, zostają zebrane w innym punkcie B (jeśli soczewka jest cienka, a promienie tworzą niewielki kąt z osią główną). Punkt B jest obrazem punktu A. Jeżeli przedmiot A składa się z wielu punktów, wysyłających światło, to każdemu z nich można przyporządkować odpowiedni punkt obrazu. Obraz nazywamy obrazem rzeczywistym, gdy promienie załamania zbierają się w punkcie B, lub urojonym, gdy zbierają się tam przedłużenia promieni. Gdy w miejscu obrazu rzeczywistego umieścimy matowy ekran, wówczas ujrzymy na nim obraz B. Obrazu urojonego na ekranie otrzymać nie można.

a - odległość przedmiotu od soczewki b - odległość obrazu od soczewki f - ogniskowa

Dla a∞ to 1/a0, a więc b = f. Promienie begnące z nieskończoności są równoległe. Gdy przedmiot zbliża się do soczewki, a staje się mniejsze; ponieważ prawa strona równania pozostaje niezmieniona, wobec tego b musi rosnąć. Przedmiot i jego obraz poruszają się w tę samą stronę. Dla a = 2f zachodzi zależność:

a więc b = 2f, co oznacza, że odległości przedmiotu i obrazu od soczewki są jedna­kowe, a wielkości przedmiotu i obrazu są również takie same. Gdy przedmiot przesuwa się od 2f do f, wtedy obraz odsuwa się od soczewki, gdy zaś a = f - oddala się do nieskończoności. Jak długo a > f, otrzymujemy obrazy rzeczywiste i odwrócone. Gdy zaś a<f ,dla b otrzymujemy wartość ujemną. Powstaje wówczas obraz urojony i prosty, położony po tej samej stronie soczewki co i przedmiot.

Obraz przedmiotu w zależności od odległości przedmiotu i ekranu od soczewki

Odległość przedmiotu	Odległość obrazu	Obraz
1 a>2f 2 a=2f 3 f<a<2f 4 a<f	f<b<2f b=2f b>2f b<0	Rzeczywisty, obrócony, zmniejszony 1` Rzeczywisty, obrócony, równy przedmiotowi 2` Rzeczywisty, obrócony powiększony 3` Urojony, prosty, powiększony 4`

Zależność odległości f od promieni krzywizn oraz od współczynnika załamania n materiału, z którego sporządzona jest soczewka, określona jest równaniem

R1 i R2 - promienie powierzchni sferycznych n - współczynnika załamania materiału f - ogniskowa

Wyznaczanie odległości ogniskowej f metodą Bessela

Zasada metody Bessela

(1)

W równaniu soczewek (1) odległości a i b (przedmiotu i obrazu od soczewki) są zamienne, tzn. przy stałej odległości przedmiotu od ekranu istnieją dwie pozycje soczewki, przy których otrzymujemy ostry obraz na ekranie - raz ­powiększony, drugi raz zmniejszony. Obie sytuacje różnią się między sobą tym, że odległości a i b zamieniają się rolami: odległość a przedmiotu w jednej pozycji staje się odległością b obrazu, i odwrotnie. Odczytujemy odległość d między obu pozycjami soczewki. Ponieważ obie pozycje są symetryczne, więc a = b' i b = a' mamy stąd a + b = l oraz a - b = d. Dodając oraz odejmując oba ostatnie równania stronami otrzymujemy a = 1/2 (l + d), b = 1/2 (l - d). Znalezione wartości a i b podstawiamy do równania otrzymując wzór na f:
;
;

Kolejność wykonywanych czynności:

1. Na jednym końcu ławy umieszczamy oświetlony przedmiot, a na drugim ekran; ich odległość l musi być większa od 4f.

2. Umieszczamy soczewkę na saneczkach i przesuwamy je do chwili uzyskania ostrego obrazu powiększonego na ekranie; odczytujemy tę pozycję względem dowol­nego znaczka na saneczkach.

3. Przesuwamy soczewkę bliżej ekranu, aż do uzyskania na nim obrazu zmniej­szonego. Odczytujemy znalezioną pozycję i znajdujemy odległość d między obu po­zycjami.

4. Mierzymy odległość l między przedmiotem i ekranem.

5. Podstawiamy zmierzone wartości do równania.

6. Wyniki pomiarów zapisu­jemy w tabelce.

Przyrządy:

Lawa optyczna; oświetlacz; transformatorek do zasilania oświetlacza; kolimator; uchwyt do przeźroczy; uchwyt do soczewek; ekran; przeźrocza; soczewki.

Wykonanie ćwiczenia

Włączamy oświetlacz, na ławie umieszczamy kolejno: uchwyt do przeźroczy z przeźroczem, uchwyt do soczewek i ekran. Oddalamy ekran tak aby jego odległość d (przedmiotu od ekranu) była 4 razy większa od ogniskowej f. Umieszczamy soczewkę na saneczkach i przesuwamy do chwili uzyskania ostrego obrazu powiększonego i mierzymy odległość soczewki od ekranu a₁ ; następnie oddalamy soczewkę tak aby uzyskać obraz ostry pomniejszony i mierzymy odległość soczewki od ekranu a₂. Dla jednej soczewki przeprowadzamy 3 pomiary dla trzech różnych odległości. Następnie wkładamy soczewki oznaczone symbolami 2 i 3. W ten sam sposób przeprowadzamy badanie. Ostatnim doświadczeniem było umieszczenie układu soczewek na saneczkach oznaczonych sobolami 1 i 4 i przeprowadzenie badania jak powyżej.

Tabela pomiarów

Soczewka	d [cm]	a1 [cm]	a2 [cm]
1	80 90 100	70,0 79,9 90,1	12,0 11,2 11,7
2	80 90 100	61,6 72,3 82,9	19,4 18,1 17,4
3	140 150 160	90,5 110,4 121,9	41,6 38,3 37,9
Układ 1 i 4	120 130 140	91,6 102,1 112,9	32,2 31,7 30,9

Obliczenia

Na postawie danych w tabeli pomiarów obliczyliśmy najpierw różnicę odległości od pozycji soczewki l =a₁ - a₂,

a następnie ogniskową na postawie wzoru f =(d² - l²)/4d. Wartości średnie liczyliśmy jako średnią arytmetyczną obliczonych ogniskowych z trzech pomiarów dla danej soczewki lub układu.

Soczewka	l [cm]	f [cm]	fśr [cm]
1	58,0 68,7 78,4	9,49 9,39 9,63	9,50
2	44,2 54,2 65,5	13,89 14,34 14,28	14,17
3	56,9 72,1 84,0	28,84 29,28 28,98	29,03
Układ 1 i 4	59,3 70,4 82,0	22,67 22,97 22,99	22,87

Rachunek błędu

Rachunek błędu obliczyliśmy metodą różniczki zupełnej.

Δd = 0,1cm - błąd równy dokładności dokonywanych pomiarów

Δl = 0,2cm - błąd równy podwojonemu błędowi odczytania pozycji soczewki dla obrazu powiększonego i pomniejszonego

Soczewka	Δf [cm]	Δfśr [cm]
1	0,085 0,086 0,088	0,086
2	0,072 0,076 0,080	0,076
3	0,062 0,068 0,071	0,067
Układ 1 i 4	0,068 0,072 0,075	0,072

Zestawienie wyników

Soczewka	d [cm]	l [cm]	f [cm]	fśr [cm]	Δf [cm]	Δfśr [cm]
1	80 90 100	58,0 68,7 78,4	9,49 9,39 9,63	9,50	0,085 0,086 0,088	0,09
2	80 90 100	44,2 54,2 65,5	13,89 14,34 14,28	14,17	0,072 0,076 0,080	0,07
3	140 150 160	56,9 72,1 84,0	28,84 29,28 28,98	29,03	0,062 0,068 0,071	0,07
Układ 1 i 4	120 130 140	59,3 70,4 82,0	22,67 22,97 22,99	22,87	0,068 0,072 0,075	0,07

Omówienie wyników

Przy wyznaczeniu ogniskowych soczewek posługiwaliśmy się metodą Belssela. Mierzyliśmy dwie odległości obrazu od soczewki w przypadku obrazu pomniejszonego i powiększonego. W wyniku obliczeń otrzymaliśmy ogniskowe poszczególnych soczewek. Na błędy ogniskowych mają wpływ głównie błędy wielkości mierzonych Δd i Δl. Oprócz tego wystąpiły też błędy systematyczne. Zaobserwowaliśmy, że im odległość przedmiotu od ekranu jest bliższa 4f tym błąd ogniskowej jest mniejszy.

Wnioski

Ogniskowe dla poszczególnych soczewek i układu soczewek wynoszą:

f₁ = f_śr ± Δf_śr = 9,50 ± 0,09 [cm]

f₂ = f_śr ± Δf_śr = 14,17 ± 0,07 [cm]

f₃ = f_śr ± Δf_śr = 29,03 ± 0,07 [cm]

f_1;4 = f_śr ± Δf_śr = 22,87 ± 0,07 [cm]