[18] Ciało sztywne w przestrzeni i stopnie swobody

Pokażemy, że dla określenia położenia ciała sztywnego w przestrzeni wystarczy znać położenie jego trzech dowolnych punktów, ale nie leżących jednocześnie na jednej prostej.

Rys. 1. Położenie punktów ciała sztywnego w chwili
i

Na rys. 1 przedstawiono nieruchomy układ współrzędnych prostokątnych 0xyz i dwa położenia ciała sztywnego w dwóch różnych chwilach czasowych jego ruchu. Zakładamy, że położenia punktów A, B i C są znane i pokażemy, że w oparciu o tę wiedzę, można wyznaczyć położenie innego dowolnie wybranego punktu ciała sztywnego (w tym przypadku punktu D). W tym celu należy zbudować czworościan ABCD, a następnie znając krawędzie CD, AD i BD należy skonstruować powierzchnię kul o promieniach równych tym krawędziom. Częścią wspólną tych trzech powierzchni kulistych będą dwa symetrycznie położone punkty względem płaszczyzny trójkąta ABC. „Cofając” się w czasie do położenia początkowego
można trafnie dokonać właściwego wyboru punktu D. Znajomość położenia punktów A, B, C oznacza znajomość ich współrzędnych
,
i
. Wzajemne odległości punktów A, B i C nie zmieniają się w czasie, wobec tego

,

,

,

gdzie:
,
,
.

Zauważmy, że wśród dziewięciu współrzędnych określających położenie punktów A, B i C trzy mogą być wyznaczone z równań (1), wobec tego tylko sześć można wybrać dowolnie.

Wynika z tego wniosek, że aby jednoznacznie określić położenie ciała sztywnego poruszającego się swobodnie (bez więzów) w przestrzeni należy znać sześć niezależnych parametrów. Określają one jednoznacznie chwilowe położenie ciała sztywnego i nazywane są jego stopniami swobody.

Jak się okaże później, wybór parametrów określających liczbę stopni swobody niekoniecznie musi być związany z wyborem trzech niewspółliniowych punktów ciała sztywnego.