Rozszerzony wzór Somigliany

Na podstawie wzorów Somigliany można wyznaczyć przemieszczenie u wewnątrz ciała, przy znajomości przemieszczeń i obciążeń na powierzchni ciała oraz przy znajomości rozwiązania podstawowego dla przestrzeni nieskończonej.

Rozpatrzmy ciało zajmujące obszar V, ograniczony powierzchnią A. Niech na ciało to działają siły masowe, a na powierzchni A niech będą zadane przemieszczenia
. Przyjmijmy ponadto, że warunki początkowe dla przemieszczeń będą jednorodne.

Punktem wyjścia rozważań będzie równanie o wzajemności

(1)

Jest to równanie(13) z punktu 9.9, uproszczone wskutek założenia jednorodności warunków początkowych.

Siły masowe
, przemieszczenia
odnoszą się do ciała ograniczonego. Dążymy do wyznaczenia przemieszczenia
w punkcie
, wyrażając je przez warunki brzegowe i odpowiedni dobrane przemieszczenia
. Te ostatnie funkcje dobieramy w następujący sposób.

Zakładamy, że funkcje
wywołane są działaniem skupionej i chwilowej siły
przyłożonej do punktu
i skierowanej równolegle do osi
. Siła ta działa w punkcie
nieskończonej przestrzeni sprężystej i wywołuje przemieszczenia
.

Przemieszczenia te otrzymamy z rozwiązania układu równań:

(2)

W przestrzeni nieskończonej. Zakładamy, że przemieszczenia te są znane. Dodać należy, że przy rozwiązaniu układu równań (2) założyć trzeba również jednorodność warunków początkowych.

Dalej wyznaczamy przynależne przemieszczeniom
naprężenia
oraz konstruujemy wektor naprężenia na powierzchni A

(3)

Wstawiając
; do równania (1) oraz biorąc pod uwagę, że

otrzymamy następujący związek:

(4)

Powyższy wzór stanowi uogólnienie wzoru Somigliany na zagadnienia elastokinetyki. Znając rozkład sił masowych
przemieszczenia
na A oraz wektor naprężenia na A wyznaczyć możemy wektor przemieszczenia w punkcie
i chwili t. Wzór (4) słuszny jest tak długo, jak długo
leży wewnątrz ciała.

Wzór (4) ma znaczenie jedynie teoretyczne. Wynika to stąd, że na powierzchni A są zadane(a więc znane) albo przemieszczenia, albo obciążenia, a więc jeden tylko typ warunków brzegowych na A. Gdyby jednak dobrać przemieszczenie
w ten sposób, aby odpowiadało polu przemieszczeń wywołanemu działaniem sił
w ciele ograniczonym (zajmującym objętość V ograniczoną powierzchnią A) i na A zupełnie utwierdzonym, wówczas wyznaczenie przemieszczenia
miałoby sens praktyczny. Niech pole przemieszczeń
spełnia układ równań

(5)

z warunkami brzegowymi

i jednorodnymi warunkami początkowymi.

Zakładając, że pole przemieszczeń
jest znane, wyznaczamy wektor naprężenia
ze wzoru (3). Wstawienie funkcji
do równania (1) prowadzi do wzoru

(6)

z którego wyznaczyć można już przemieszczenie
.Wzór (6) stanowi rozwiązanie pierwszego zagadnienia brzegowego elastokinetyki.

POLITECHNIKA ŚLĄSKA

W GLIWICACH

MECHANIKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

Temat: Rozszerzony wzór Somigliany

Witold Konopka

Wydział:MT

Kierunek:AiR

Semestr:V

Grupa:I