XIV Twierdzenie o lokalnej odwracalności odwzorowań klasy C¹. Dyfeomorfizmy. Twierdzenie o odwzorowaniu uwikłanym.

Definicja

Niech
będzie zbiorem otwartym. Funkcja
nazywa się dyfeomorfizmem, gdy

a). f jest klasy
na G

b). dla każdego
mamy

c). f jest iniekcją (na G) i
jest ciągła (na f[G]).

Definicja

Niech
będzie zbiorem otwartym i niech będzie dana funkcja ciągła
. Dla argumentu
wartość funkcji F będziemy zapisywać jako F(x,y). Każdą funkcję ciągłą postaci
gdzie
jest zbiorem otwartym, taką, że dla każdego
równanie

(*) F(x,y)=0

Ma rozwiązanie y=f(x) nazywamy funkcją uwikłaną wyznaczoną przez równanie (*).

Twierdzenie (o funkcji uwikłanej )

Niech
będzie zbiorem otwartym i niech
będzie funkcją klasy C⁽¹⁾na G. Oznaczmy
.Załóżmy, że
oraz

gdzie
. Wtedy istnieją zbiór otwarty
taki, że
i otoczenie V punktu x⁰ oraz funkcja
klasy C⁽¹⁾ taka , że
. Zatem f jest jedyną funkcją uwikłaną generowaną w otoczeniu U punktu
przez równanie F(x,y)=0.

Twierdzenie (różniczkowanie odwzorowania odwrotnego)

Niech
będzie zbiorem otwartym, zaś
- funkcją klasy C⁽¹⁾. Jeśli w każdym punkcie
jakobian Jf(x) nie znika, to

a). zbiór f[G] jest otwarty

b). jeśli funkcja f jest iniekcją na G, to funkcja odwrotna
jest klasy C⁽¹⁾na f[G] oraz

.