Zadanie 1

0x01 graphic

  1. Funkcja charakterystyczna

Koalicja

Wartość funkcji charakterystycznej

0

{A}

0

{B}

0

{C}

0

{A, B}

8

{B, C}

8

{A, C}

8

{A, B, C}

9

b) Czy gra ma niepusty rdzeń? Tak- wyznaczyć, nie- uzasadnić

A ≥ 0

B ≥ 0

C ≥ 0

A + B ≥ 8

A + C ≥ 8

B + C ≥ 8

A + B + C = 9

Z ostatniego warunku dostajemy

A + B = 9 - x3

A + C = 9 - x2

B + C = 9 - x1

Podstawiając trzy powyższe zależności do warunków 4-6 dostajemy

A + B = 9 - C ≥ 8  C  1

A + C = 9 - B ≥ 8  B  1

B + C = 9 - A ≥ 8  A  1

0A1 0B1 0C1

A+B+C=9

Gra ma pusty rdzeń ponieważ nie ma takiej płaszczyzny która łączy te trzy warunki

  1. Wartości Shapleya dla każdego z graczy

xA=(0!(3-0-1)!)/3! * (0-0) +(1!(3-1-1)!)/3!* (8-0) +(1!(3-1-1)!)/3!* (8-0)+ (2!(3-2-1)!)/3! * (9-8)=0 + 1/6 * 8 + 1/6*8+ 1/3=0+8/6+8/6+2/6=3

Dla pozostałych wariantów wartości wynoszą tyle samo

xB=3

xC=3

Zadanie 2

Dana jest następująca funkcja charakterystyczna:

Koalicja

Wartość funkcji charakterystycznej

0

{1}

1

{2}

0

{3}

3

{1, 2}

2

{2, 3}

3

{1, 3}

5

{1, 2, 3}

6

  1. Proszę sprawdzić, czy powyższa funkcja charakterystyczna jest monotoniczna;

Gra jest monotoniczna wtedy, kiedy dla wszystkich koalicji K, L takich, że K  L zachodzi v(K)  v(L)

v() = 0  1 = v({1})

v() = 0  0 = v({,2})

v() = 0  3 = v({3})

v() = 0  2 = v({1, 2})

v() = 0  3 = v({2, 3})

v() = 0  5 = v({1, 3})

v() = 0  6 = v({1, 2, 3})

v({1}) = 1  2 = v({1, 2})

v({1}) = 1  5 = v({1, 3})

v({1}) = 1  6 = v({1, 2, 3})

v({2}) = 0  2 = v({1, 2})

v({2}) = 0  3 = v({2, 3})

v({2}) = 0  6 = v({1, 2, 3})

v({3}) = 3  3 = v({2, 3})

v({3}) = 3  5 = v({1, 3})

v({3}) = 3  6 = v({1, 2, 3})

v({1, 2}) = 2  6 = v({1, 2, 3})

v({1, 3}) = 5  6 = v({1, 2, 3})

v({2, 3}) = 3  6 = v({1, 2, 3})

Funkcja jest monotoniczna.

Funkcja nie jest superaddytywna - uzasadnić!

  1. Czy funkcja jest wypukła ?

Funkcja nie jest wypukła, bo nie jest superaddytywna

x1 ≥ 1

x2 ≥ 0

x3 ≥ 3

x1 + x2 ≥ 2

x1 + x3 ≥ 5

x2 + x3 ≥ 3

x1 + x2 + x3 = 6

x1 + x2 = 6 - x3

x1 + x3 = 6 - x2

x2 + x3 = 6 - x1

x1 + x2 = 6 - x3 ≥ 2  x3  4

x1 + x3 = 6 - x2 ≥ 5  x2  1

x2 + x3 = 6 - x1 ≥ 3  x1  3

Rdzeniem jest zatem następujący zbiór podziałów:

{(x1, x2, x3): 1  x1  3, 0  x2  1, 3  x3  4, x1 + x2 + x3 = 6}

Przykładowym podziałem należącym do rdzenia może być {2, 1, 3}

  1. Proszę wyznaczyć wartości Shapleya.

A1=(0!(3-0-1)!)/3! * (1-0) +(1!(3-1-1)!)/3!* (2-0) +(1!(3-1-1)!)/3!* (5-3)+ (2!(3-2-1)!)/3! * (6-3)=1/3 *1 + 1/6 * 2 + 1/6*2+ 1/3*3=2

A2=2/6*0+1/6*1+1/6*0+2/6*1=0,5

A3=2/6*3+1/6*4+1/6*3+2/6*4=3,5