Funkcja parzysta: ƒ(-x)=ƒ(x) Funkcja nieparzysta: ƒ(-x)=-ƒ(x)
Ciąg liczbowy: funkcja odwzorowująca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych f:N→R, oznaczamy go (an),gdzie an=ƒ(n)
Granica ciągu: liczbą g nazywamy granicę ciągu an, jeśli dla dowolnej dodatniej liczby ε (otoczenia) istnieje liczba δ taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od δ różnią się od g mniej niż o ε.
ciąg który ma granicę skończoną - zbieżny, nieskończoną lub żadną -rozbieżny
lim(an±bn)=a±b, lim(an·bn)=ab, lim(an/bn)=a/b, lim =1, 1/∞=0, 1/0+=+∞,
Tw Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony to jest zbieżny (ma tylko 1 granice)
Tw o 3 ciągach Jak lim an=lim cn=g i dla prawie wszystkich n: an≤bn≤cn to lim bn=g.
Tw Jeżeli lim an=a i lim bn=b oraz dla prawie wszystkich n: an≤bn to lim a≤b
Tw. Cauchy'ego zbieżności ciągu ciąg an jest zbieżny, gdy dla dowolnej liczby dodatniej ε istnieje δ taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od δ, różnią się między sobą o mniej niż ε
Liczba Eulera (e=2,718281…) - granica an=(1+1/n)n który jest rosnący i ograniczony (tj. zbieżny). Logarytm o podstawie e to logarytm naturalny ln.
Symbole nieoznaczone: ∞/∞, 0/0, ∞-∞,0∞, ∞0,00, 1∞
Granica funkcji (cuachy'ego)
Ciągłość funkcji: funkcje nazywamy ciągłą w punkcie x0 gdy limƒ(x)=ƒ(x0)
Tw. Weierstrassa: jeżeli funkcja ƒ jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b> to jest w tym przedziale ograniczona i istnieją w tym przedziale punkty, w których funkcja przyjmuje wartość największą i najmniejszą.
tw.Darboux: jak funkcja ƒ jest ciągła w przedziale <a,b>, gdzie f(a)≠f(b) i liczba q jest zawarta między liczbami f(a) i f(b) to istnieje chociaż jeden taki punkt cє<a,b> taki że f(c)=q. Taka funkcja przyjmuje każdą wartość między f(a) i f(b) oraz f(a)·f(b)<0, to istnieje taki punkt cє(a,b),że f(c)=0
Pochodna funkcji ƒ w punkcie x0 to skończona granica ilorazu różnicowego funkcji ƒ w punkcie x0, tzn., że jest w tym punkcie różniczkowalna
Geometryczny sens pochodnej pochodna ƒ′(x0) jest równa tangensowi kąta, jaki tworzy z osia OX styczna poprowadzona do wykresu funkcji f w punkcie P0(x0,f(x0)). Styczna ta ma równanie y= ƒ′(x0)(x-x0)+y0
tw ROLLE'A jak funkcja ƒ jest ciągła na przedziale domk. <a,b> i różniczkowalna na przedziale otwartym(a,b) oraz f(a)=f(b) to istnieje taki punkt cє(a,b), że ƒ′(c)=0
tw. Lagrange'a jak funkcja jest ciągła na przedziale domk. <a,b> i różniczkowalna na przedziale otwartym, to istnieje taki punkt cє(a,b),że f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]
tw. O pochodnej funkcji odwrotnej jak funkcja x=f(y) jest ściśle monotoniczna i ma pochodną ƒ′(y)≠0 na przedziale Y to funkcja odwrotna y=f-1(x) ma na przedziale f(Y) pochodną daną wzorem (ƒ-1)′(x)=1/ƒ′(y)
tw. Pochodnej funkcji złożonej: jeśli funkcja h ma pochodną w punkcie x oraz funkcja g ma pochodną w punkcie u , gdzie u=h(x) to funkcja złożona g◦h ma pochodną w punkcie x0 dana wzorem (g◦h)′(x)= g′[h(x)]·h′(x)
Tw. O pochodnej funkcji logarytmicznej: pochodną logarytmiczną funkcji f nazywamy pochodną jej logarytmu naturalnego [lnf(x)]′=f′(x)/f(x)
Całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale P nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji w przedziale P. Pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej.
Całka oznaczona Riemanna funkcji f w przedziale <a,b> to granica, do której jest zbieżny ciąg sum całkowych (Sn)
1funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale
2funkcja monotoniczna w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale
Macierzą o wyrazach rzeczywistych i wymiarach m na n nazywamy funkcje przyporządkowujące każdej parze (i;j) liczb naturalnych i=1,2,…,m j=1,2,…m
Dokładnie jedną liczbę rzeczywistą aij macierz taka zapisujemy w tablicy o wymiarach m wierszy i n kolumn
Macierz której wszystkie elementy równe są 0 nazywamy zerową i oznaczamy0
Macierz kwadratową, w której wszystkie wyrazy poza główną przekatną są równe jedności nazywamy macierzą jednostkową
Macierz kwadratową, której wszystkie wyrazy stojące pod (nad) główną przekątną są równe 0 nazywamy macierzą trójkątną górną (dolną)
Tw. Laplace'a (rozwinięcie wyznacz. względem dowolnego wiersza lub kolumny)
Układ kramera m.=n liczba równań = liczbie niewiadomych i detA≠0. Rozwiązanie dane wzorami xi=detAi/detA gdzie Ai to macierz powstała przez
Zastąpienie kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Własności wyznaczników
1. detA =det AT
2. jak każdy element wiersza lub kolumny macierzy jest =0 to jej wyznacznik =0
3. gdy B powstaje z A przez zamianę miejscami wierszy/kolumn to det A= -detB
4. jak 2 wiersze/kolumny są proporcjonalne to wyznacznik tej macierzy jest równy 0
5. wspólny czynnik wiersza/ kolumny można wyciągnąć przed wyznacznik
6. można do wiersza/ kolumny dodać inny wiersz/kolumne pomnożoną przez dowolną liczbę nie zmieniając wyznaczniku macierzy
7. jak wszystkie elementy znajdujące się pod przekątną główną są równe 0 to wyznacznik tej macierzy jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej
8. Tw. Cauchey'ego jak m. A,B są tego samego stopnia to det (AB)=detAdetB
M. osobliwa detA=0, Nieosob. det A ≠0. Iloczyn nieosobliwych jest nieosobliwą.
Macierz odwrotna nazywamy macierz B która spełnia równość AB=BA=In i oznaczamy symbolem A-1 (A MUSI BYĆ ODWRACALNA TJ NIEOSOBLIWA)
Własności: (A-1)-1=A, (AB)-1=B-1A-1, (AT)-1=(A-1) T, (ta)-1=1/t A-1 t ≠0
Macierzą dołączoną macierzy kwadratowej A nazywamy macierz AD =[A IJ] T
Jeżeli macierz A jest nieosobliwa to o macierz odwrotna jest równa macierzy dołączonej do A podzielonej przez wyznacznik A A-1=1/detA [AIJ]T
Operacje elementarne na macierzach: 1. Przestawianie 2 wierszy/kolumn
2. pomnożenie wiersza/kolumny przez liczbę różną od 0
3. dodanie do wiersza/kolumny innego w/k pomnożonego przez liczbę różną od 0
Rząd macierzy niezerowej Amxn to liczba równa stopniowi macierzy jednostkowej występującej w postaci bazowej. Równy max liczbie różnych kolumn jednostkowych w postaci bazowej.
Układ równań liniowo -jednorodny jeśli wektor b wyrazów wolnych jest zerowy
Niejednorodny-> wektor b nie jest równy 0
Równanie postaci 0x1+0x2+0x3…=0 nazywamy równaniem tożsamościowym.
Hesjan- macierz utworzona z pochodnych cząstkowych 2 stopnia
λ mnożnik Lagrange'a- parametr
Asymptota ukośna y=mx+k
lim [f(x)/x]=m, lim [f(x)-mx]=k (x→-∞)