Kolokwium I rok 2012/2013

Zadanie 3:

a) Sformułować twierdzenie Greena.

b) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć
, gdzie łuk L jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach 0(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1) zorientowanym ujemnie względem swego wnętrza.

Rozwiązanie:

1. Twierdzenie Greena

Jeżeli funkcje P i Q są klasy
wewnątrz obszaru domkniętego
, normalnego względem obu osi układu współrzędnych, brzeg L obszaru D jest łukiem zorientowanym dodatnio a pole wektorowe
jest różniczkowalne w sposób ciągły na D to:

Jest nazywane wzorem Greena

1. Rysujemy kwadrat o podanych wierzchołkach

2. Określamy przedziały w jakich znajdują się x i y

3. Korzystamy ze wzoru z twierdzeniu Greena

; gdzie P=y, Q=2x

4. Obliczamy pochodne z P i Q potrzebne do wzoru:
   

;

5. Podstawiamy dane do wzoru z twierdzenia Greena i obliczamy całkę podwójną:

Odpowiedź:

Autor: Anna B. grupa 2