Drgania tłumione. Jeżeli drgania ciała odbywają się w ośrodku materialnym (gaz, ciecz), to wskutek występowania siły oporu ośrodka, którą będziemy nazywać silą tłumiącą, drgania będą zanikać. Niezależnie od natury ośrodka siła tłumiąca Ft jest proporcjonalna do prędkości ciała drgającego, jeśli pręd­kość ta jest niewielka. Zatem Ft = -b dt. Współczynnik proporcjonalności b nazywa się współczynnikiem oporu. Znak minus w powyższym wzorze uwzględnia fakt, że siła Fr jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku ruchu. Uwzględniając działanie siły możemy dla drgań tłumionych, zgodnie z II zasadą dynamiki, napisać Fs + Ft = ma czyli - kx - b = m albo m dt2 + b dt + kx = 0. Jest to równanie różniczkowe drgań tłumionych punktu materialnego. Roz­wiązaniem tego równania jest funkcja x = Ao e­^-^β^t cos (ω1 t + ϕ) gdzie: β=b/ 2m - wspólczynnik tłumienia ω1= - pulsacja drgań tłumionych. Porównując wzór dla drgań swobodnych ze wzorem widzimy, że wskutek działania siły tłumiącej:Amplituda drgań maleje z upływem czasu wg zależności pulsacja drgań jest mniejsza niż dla drgań swobodnych Na rysunku przedstawiono wykres drgań tłumionych ciała wykonany dla porównania z wykresem drgań swobodnych tego ciała. Porównanie drgań tłumionych (linia ciągła) z drganiami swobodnymi (li­nia przerywana); okres drgań tłumionych jest większy niż okres drgań swobodnych Wielkością charakteryzującą drgania tłumione jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia. Jest to logarytm naturalny stosunku dwóch amplitud w chwilach t i t+ T. Oznaczając logarytmiczny dekrement tłumienia literą A (Lambda) możemy napisać Ruch pełzający (β>ω) i ruch pełzający krytyczny (β=ω); w obu przy­padkach ciało zbliża się asymptotycznie do położenia równowagi Zależności mają sens tylko wtedy, jeśli β< ω w przeciw­nym razie ruch nie jest ruchem drgającym, lecz ruchem pełzającym (aperiodycz­nym). W przypadku, gdy β > ω rozwiązanie równania możemy zapisać w postaci X= B1 e^-(^β^+^ω^1)t +B2 e^-(^β^-^ω^2)t gdzie ω2 = β1i β2 są dowolnymi stałymi. Ruch pełzający charakteryzuje się tym, że ciało wychylone z położenia równowagi nie wykonuje drgań, lecz zbliża się do tego położenia asymptotycznie. Ruch pełzający występuje wtedy, gdy siła oporu ośrodka jest bardzo duża. Na przykład, jeżeli ciężarek zawieszony na sprężynie i wprawiony w ruch zanurzyć do gęstego oleju, to ruch z drgającego zmieni się w pełzający. Szczególny przypadek ruchu pełzającego mamy wtedy, gdy β= ω. Ruch taki nazywamy ruchem pełzającym krytycznym. Wykresy ruchu pełzającego i ruchu pełzającego krytycznego są pokazane na 'rys. 2.4~Z porównania tych wykresów wynika, że dla β= ω ciało szybciej zbliża się do położenia równowagi niż dla β> ω. Ruch pełzający krytyczny jest wykorzystywany w amortyzatorach pojazdów mechanicznych. Element resoru­jący zawiera sprężyny oraz cylinder napełniony olejem, w którym porusza się tłoczek. Ruch tłoczka powoduje przepływ oleju przez odpowiednie otworki w przegrodach. Wielkość tych otworków jest tak dobrana, stosownie do masy pojazdu, aby drgania pojazdu wywołane nierównościami drogi były tłumione w stopniu realizującym ruch pełzający krytyczny Drgania wymuszone. Jeżeli chcemy, aby opory ośrodka nie tłumiły drgań, to na drgający punkt materialny należy działać odpowiednio zmienną siłą. W przy­padku drgań harmonicznych siła ta ma postać Fw = Fo cos Ωt Siłę tę nazywamy siłą wymuszającą. W przypadku drgań wymuszonych mamy Fs+Ft+Fw = ma czyli jest to równanie różniczkowe drgań wymuszonych. Rozwiązaniem tego równania jest x = A cos (Ωt+φ)

gdzie Widzimy więc, że w wyniku działania siły wymuszającej postaci punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne z pulsacją Ω, tzn. z taką pulsacją, z jaką zmienia się siła wymuszająca. Amplituda drgań wymuszonych jest ściśle określona i zależy od amplitudy siły wymuszającej Fo oraz od jej pulsacji Ω. Również początkowa faza drgania φ zależy od pulsacji Ω. Faza φ jest różnicą fazy wychylenia i fazy siły Rezonans. Gdy siła wymuszająca działa na drgające ciało z odpowiednią częstotliwością, to amplituda drgań tego ciała może osiągnąć bardzo dużą wielkość nawet przy niewielkiej sile wymuszającej. Zjawisko to nazywamy rezonansem Przeanalizujemy obecnie wyrażenie na amplitudę drgań wymuszonych. Po wprowadzeniu oznaczenia wyrażenie to możemy zapisać w postaci Wykres przedstawiający funkcję A (Ω) nazywamy krzywą rezonansu. Na rysunku przedstawiono krzywe rezonansu dla różnych wartości współczyn­nika tłumienia β. Z rysunku tego wynikają następujące wnioski: 1) Maksymalna wartość amplitudy A, jest tym większa, im mniejszy jest współczynnik tłumienia β, a gdy β 0, to Ar -> oo 2) Jeżeli tłumienie jest słabe, to A, osiąga maksimum, gdy pulsacja Ω przyjmuje wartości nieco mniejsze od pulsacji drgań swobodnych . Im mniejsza jest wartość β, tym bardziej Ω, zbliża się do war­tości oo. Przy bardzo silnym tłumieniu rezonans nie występuje; maksymalna amplituda drgań A, jest osiągana, gdy Ω jest bliskie zeru. Zjawisko rezonansu jest bardzo rozpowszechnione w przyrodzie i tech­nice. Skutki rezonansu mogą być pozytywne lub negatywne. Na przykład, wirujące części maszyny, jeżeli nie są dokładnie wyważone, wymuszają drga­nia innych części maszyny i jeżeli jest spełniony przy tym warunek rezo­nansu, to amplituda drgań wymuszonych może być taka duża, że dopro­wadzi to do zniszczenia drgających części. działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest możliwe dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Również w optyce spotykamy się ze zjawiskiem rezonansu, gdy światło o ściśle określonej długo­ści fali ulega pochłonięciu przez atomy; rezonans optyczny leży u podstaw działania laserów. Prędkość rozchodzenia się fal. Jak już wspominaliśmy, fale mechaniczne rozchodzą się w różnych ośrodkach sprężystych. W ciałach stałych mogą rozchodzić się zarówno fale poprzeczne, jak i podłużne. Prędkość rozchodzenia się fali podłużnej w ciele stałym wyraża się wzorem gdzie E - moduł Younga, ρ ~ - gęstość ciała. Fala poprzeczna rozchodzi się w ciele stałym z prędkością gdzie G - moduł sprężystości postaciowej (moduł sztywności). Na ogół moduł Younga jest większy od modułu sztywności, toteż w danym ciele stałym fala podłużna rozchodzi się szybciej od fali poprzecznej. Gazy nie mają sprężystości postaci i dlatego nie mogą się w nich rozcho­dzić fale poprzeczne. Prędkość fali podłużnej w cieczy wynosi gdzie K - moduł ściśliwości cieczy. Prędkość fali podłużnej w gazie wyraża się wzorem V= Gdzie p - ciśnienie gazu, aχ = cp/cv Rodzaje fal. Ogólnie, fale dzielimy na podłużne i poprzeczne: fala jest podłużna, jeżeli kierunek drgań cząstek ośrodka jest równo1egły do kierunku rozchodzenia się fali, a jest poprzeczna, jeżeli kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fale Dyspersja światła ~prędkość fali świetlnej przechodzącej przez ośrodek materialny zależy od współczynnika załamania tego ośrodka oraz od częstotliwości drgań przecho­dzącej fali. Zjawisko to nazywamy dyspersji światła. Zależność prędkości fali świetlnej od współczynnika załamania ośrodka, przez który ona przechodzi wynika z wzoru u = c/n. Ze wzrostem częstotliwości fali świetlnej rośnie współczynnik załamania ośrodka, a więc ze wzrostem częstotliwości fali ma­leje jej prędkość, a rośnie współczynnik załamania. Zjawisko dyspersji wykorzystujemy w spektrometrii promieniowania świe­tlnego. Fale stojące. Fala wytworzona w ciele o skończonych rozmiarach odbija się od granicy tego ciała: np. fala wytworzona na napiętej strunie odbija się od obu punktów unieruchomienia struny. Fala odbita porusza się w kierunku przeciw­nym niż fala padająca i superpozycja tych dwóch fal daje w wyniku falę wypadkową, zwaną falą stojącą.

Doświadczenie Younga. Fale świetlne, jak wiemy, są falami elektromag­netycznymi, w których wektor elektryczny E i wektor magnetyczny H są do siebie prostopadłe Wrażenie świetlne, jak stwierdzono, wy­wołuje wektor elektryczny, dlatego też ten wektor jest nazywany wektorem świetlnym. Doświadczenie wykonane przez Younga, przedstawiono schema­tycznie na rys. czy w punkcie A nastąpi wzmocnienie czy wygaszenie światła decyduje to, ile długości fali kλ, mieści się na odcinku Zlb, którego długość jest równa różnicy dróg optycznych promieni.Rozważymy obecnie, jakie muszą być spełnione warunki, aby w punkcie A wystąpiło maksimum względnie minimum natężenia światła. Wiemy, że przy superpozycji dwóch drgań równoległych o jednakowych częstot­liwościach amplitudy drgań dodają się, gdy fazy są zgodne, a odejmują się, gdy fazy są przeciwne. Zatem gdy fazy fal docierających do A będą zgodne, w punkcie tym wystąpi maksimum. Fazy fal będą zaś zgodne, jeżeli na odcinku Z1 b = d sinϕ zawierać się będzie wielokrotność długości fali, czyli gdy Jeżeli w punkcie A fazy fal będą przeciwne, to wystąpi minimum, co nastąpi wówczas, jeżeli odcinek Z1 b = d sinϕ będzie zawierał nieparzystą wielokrotność połówek długości fali, czyli Maksima i minima wystąpią symetrycznie względem maksimum centralnego leżącego w punkcie D. Na podstawie przeprowadzonych wyżej rozważań możemy stwierdzić, że: Fale o jednakowych długościach wzmacniają się najsilniej, jeżeli różnica ich dróg optycznych jest równa wielokrotności długości fali, a maksymalnie się osłabiają, jeżeli różnica ich dróg optycznych jest nieparzystą wielokrotnością połówek długości fali, Zjawisko to nazywamy interferencją światła. Dudnienie. Przy nałożeniu się drgań harmonicznych o niewiele różniących się pulsacjach powstaje drganie złożone, które nazywamy dudnieniem. Dla uproszczenia załóżmy, że drgania składowe mają jednakowe amplitudy. Można je wtedy zapisać w postaci Gdzie Drganie wypadkowe wyraża się wzorem X=Acos(ω+Δω)t+Acos(ω-Δω)t=2AcosΔωt*cosωt=A'cosωt Dudnienia można usłyszeć, gdy np. w instrumentach muzycznych dwie, struny są nastrojone na niewiele różniące się tony: gdy obie te struny wydają dźwięk, słyszymy dudnienie. Dudnienie można usłyszeć w odbiorniku radiowym, gdy dwie stacje pracują na bliskich częstotliwościach a mała selektywność odbiornika uniemożliwia ich oddzielenie Dyfrakcja światła na szczelinie. Zjawisko dyfrakcji światła, polegające na uginaniu się promieni świetlnych napotykających na swej drodze przeszkody, na przykład przesłony z otworami, cienkie pręciki, małe kulki, w wyniku czego występują odstępstwa od prostoliniowego ich biegu, jest ściśle związane z fa­lową naturą światła. Zjawisko to tłumaczymy, zgodnie z zasadą Huygensa, powstawaniem elementarnych fal kulistych w punktach, do których dociera fala padająca Na rysunku pokazano ugięcie promieni świetlnych, wychodzących ze źródła światła Z, na brzegach wąskiej szczeliny w przesłonie P. Promienie ugięte padają na punkt A na ekranie E, tworząc na nim obraz źródła światła Z. Gdy źródło światła Z i ekran E, na którym pojawia się obraz, znajdują się w małej odległości, ugięcie nosi nazwę dyfrakcji Fresnela Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej. Możliwość odróżnienia dwóch maksimów obrazu dyfrakcyjnego zależy nie tylko od odległości między nimi, ale również od ich szerokości. Na rysunku pokazano wypadkowe natężenie

---