KSZTAŁTOWANIE POJĘĆ MATEMATYCZNYCH

W psychodydaktyce przez pojęcie rozumie się abstrakcyjne (my­ślowe) odbicie ogólnych i istotnych właściwości rzeczy, zjawisk i zda­rzeń. Kształtowanie pojęć należy do podstawowych zadań dydaktyczno-wychowawczych edukacji wczesnoszkolnej. U jego podstaw leży poznawanie przez dziecko nowych przedmiotów i zjawisk, zdoby­wanie umiejętności dostrzegania i wyodrębniania ich cech oraz doko­nywania uogólnień i przyswajania sobie ich zasadniczego znaczenia.

Pojęcia kształtują się u człowieka przez całe życie. Następuje to stopniowo (szybciej lub wolniej) i zależy głównie od poziomu ukształto­wania u danej jednostki struktur poznawczych. Dzieci przedszkolne cechuje to, że w ich pojęciach uogólnione są głównie te cechy, które akceptują praktyczne wykorzystanie przedmiotów. Pod wpływem na­uczania i uczenia się w szkole uczeń poznaje cechy i właściwości najbardziej ogólne i istotne. Zaczyna odróżniać je wyraźnie od cech drugorzędnych.

Pojęcia matematyczne mają swoją specyfikę, a nawet można przy­jąć, że różnią się w dość istotny sposób od innych pojęć. Powstają one głównie na drodze abstrahowania tylko niektórych cech realnych przedmiotów i ich uogólnienia. Treścią bowiem pojęć matematycznych są określone relacje między przedmiotami (a częściej ich zastępnikami), a także pewne sposoby manipulowania nimi, nie zaś cechy konkretnych przedmiotów. Pojęcia matematyczne, tak jak cała matematyka, mają charakter operatywny i tworzą się w wyniku stopniowego procesu interioryzacji działań konkretnych, potem czynności wyobrażanych do operacji abstrakcyjnych.

W procesie stopniowego uwewnętrzniania (interioryzacji) czynno­ści może być kilka faz przejściowych, różnie określanych przez różnych badaczy. U J. Piageta są to fazy wyobrażeń przedoperacyjnych i operacji konkretnych. U P. Galpierina są to, poza fazą orientacji w działaniu i działaniach na przedmiotach materialnych, faza działania na przed­miotach zmaterializowanych (zastępczych), działania w mowie głośnej i działania w mowie cichej, aż do działań w mowie wewnętrznej.

Na lata od 7-12 przypada podokres operacji konkretnych, cechu­jący się rozwojem prostych operacji logicznych, które J. Piaget nazywa ugrupowaniami, np. szeregowanie, dodawanie itp. Rolę operacji umysłowych najłatwiej można rozpoznać w nauczaniu matematyki, gdzie wymaga się od ucznia różnych metod rozwiązywa­nia zadań matematycznych. Istotnym elementem kształtowania wła­ściwych pojęć matematycznych są własności operacji, takie jak:

a) łączność operacji, a więc dochodzenie do rozwiązań różnymi drogami (dla przykładu, różne sposoby obliczania obwodu prostokąta: Obw. = a + b + a + b, lub Obw. = 2a + 2b albo Obw. = 2(a + b);

b) odwracalność operacji, a więc dochodzenie do rozwiązań, a potem myślowy powrót do danych początkowych (np. nakrycie pola prostokąta innymi polami, a potem jeszcze mniejszymi prostoką­tami i na końcu kwadratami). Po zliczeniu liczby kwadratów (oblicze­niu pola) kolejne myślowe odkrywanie pól aż do stanu wyjściowego, które można sprawdzić praktycznie;

c) łączenie operacji w całościowe systemy, a więc uwzględnianie łączności i odwracalności operacji jednocześnie oraz tworzenie całych struktur operacji umysłowych.

Etapy kształtowania pojęć

Najważniejszym okresem kształtowania pojęć są pierwsze lata nauki w szkole.

W. Okoń wyróżnia trzy zasadnicze etapy kształtowa­nia pojęć, mianowicie:

1. Kojarzenie nazw z odpowiadającymi im przedmiotami.

W etapie tym następuje łączenie odpowiednich słów z rzeczami lub zjawiskami, które są jakby ich sygnałami. Jest to najczęściej kojarzenie nazw i rzeczy. Uczniowie dostrzegają przedmioty najbliższego oto­czenia, w tym też geometryczne (koło, trójkąt itp.), ich barwy i kształty oraz mogą wykonywać z nimi najprostsze czynności. Kojarzenie nazwy z tymi przedmiotami może odbywać się kilkoma sposobami:

I sposób. Nauczyciel wprowadza nowy wyraz i sam określa jego znaczenie, posługując się oglądaną przez uczniów rzeczą. Uczniowie słyszą nową dla siebie nazwę (np. czworokąt) bezpośrednio oglądając przedmioty.

II sposób. Nauczyciel wyjaśnia znaczenie nowego słowa za pomocą innych słów, znanych uczniom, np. kwadrat jest to prosto­kąt o równych bokach.

2. Tworzenie przedpojęć na podstawie znajomości wewnętrznych cech rzeczy i zdarzeń.

W etapie tym następuje tworzenie się pojęć elemen­tarnych jako uogólnionych wyobrażeń, jeszcze w części obrazowych i werbalnych informacji o cechach zewnętrznych rzeczywistości.

3. Nabywanie pojęć naukowych.

Uogólnianie w tym etapie obejmuje cechy zewnętrzne przedmiotów i zjawisk, a także stosunki między nimi i całą wiedzę o rzeczywistości. Obejmuje ono takie same mo­menty jak w kształtowaniu pojęć elementarnych, z tym jednak, że mogą one wystąpić w różnej kolejności i mieć różny zakres poznawania, ćwiczenia, operowania, wykonywania obliczeń itp. W etapie tym W. Okoń wyróżnia:

a) zestawienie danego przedmiotu lub zjawiska z innymi w celu wyodrębnienia go, np. zestawienie czworokąta dowolnego z kwa­dratem i prostokątem,

b) wyszukiwanie cech podobnych (wspólnych), np. 4 boki i 4 kąty,

c) poszukiwanie cech różniących (istotnych i nieistotnych), np. 4 boki, ale nie są parami równe i równoległe,

d) wytworzenie sobie pojęcia na podstawie znajomości istotnych cech danej kategorii rzeczy, np. czworokąta,

e) zastosowanie poznanego pojęcia w nowych sytuacjach, np. ryso-) wanie, mierzenie boków, obliczanie obwodów itp.

Kształtowanie pojęć może również przebiegać według pięciu eta­pów Cz. Kupisiewicza , mianowicie:

1.Analiza wstępna (zestawienie danego przedmiotu i zjawiska z innymi w celu wyodrębnienia go).

2. Generalizacja (wyszukiwanie cech wspólnych dla danych przedmio­tów i zjawisk).

3. Różnicowanie (wyszukiwanie cech różniących dane przedmioty lub zjawiska).

4. Synteza (zdefiniowanie przez uczniów danego pojęcia na podstawie znajomości cech określonego przedmiotu lub zjawiska).

5. Zastosowanie (wykorzystanie przez uczniów poznanego pojęcia w nowych sytuacjach w celu utrwalenia go i wdrożenia do posługiwa­nia się nim w życiu).

Podstawą systemu pojęć oraz ich prawidłowego funkcjonowa­nia w umyśle jest stała gotowość opanowanych pojęć do użycia ich w różnych sytuacjach, wyrażająca się ich operatywnością. Gotowość taką można zapewnić przez: właściwą drogę przyswajania pojęcia, utrwalanie pojęcia i rozszerzanie jego znaczenia oraz wdrażanie do samodzielności w myśleniu i stosowaniu zdobytej wiedzy w nowych sytuacjach .

Warunki i trudności w kształtowaniu pojęć

Myślenie dzieci w wieku wczesnoszkolnym jest konkretno-obrazowe i integralnie związane z aktywnością manualną. Przyswajanie pojęć matematycznych musi opierać się na uwzględnieniu tych właściwości z zastosowaniem odpowiednich środków dydaktycznych.

Kształtowanie pojęć u uczniów w klasach niższych przebiega prawidłowo wtedy, jeżeli w procesie uczenia się spełnione są następu­jące warunki :

1) opiera się na poznawaniu zmysłowym, tj. na spostrzeganiu i wyob­rażaniu przedmiotów, ich cech oraz stosunków i zależności między nimi,

2) wiąże się te przedmioty, ich elementy, stosunki i układy ze słowami i utrwala je w wyrażeniach języka,

3) stwarza się warunki do procesu uogólnień, czyli do przyswajania pojęć ogólnych, wychodząc najczęściej poza dane bezpośrednie,

4) opracowuje się uzyskane treści w spójny system wiedzy,

5) dostarcza się wielu okazji do sprawdzania i wykorzystania zdobytej wiedzy w działaniu,

6) sprzyja się wartościowaniu i ocenianiu działań,

7) stwarza się warunki do zapamiętania czynności i rezultatów poznania,

8) uwzględnia się pełną aktywność i samodzielność uczniów.

Klasa I stanowi okres kształtowania się w umysłach uczniów podstawowych pojęć arytmetycznych, które uczniowie muszą tak opa­nować, aby stały się one podstawą trwałej i operatywnej wiedzy. Sto­sunki jakościowe przechodzące stopniowo w stosunki ilościowe stanowią w tej klasie treść podstawowych pojęć matematycznych, ta­kich jak: pojęcie liczby i działania arytmetycznego oraz odpowiadają­cych im symboli, cyfr i znaków działań.

W czasie opanowywania tych pojęć pojawiają się trudności. Do podstawowych sposobów zapobiegania trudnościom w kształtowaniu pojęć możliwych do zastosowania przez nauczycieli L. Bandura zalicza:

1) utrwalenie właściwych związków między przedmiotami i odpowia­dającymi im nazwami,

2) określanie realnych celów lekcji i wyraźnych planów wszelkich zajęć,

3) unikanie odbiegania od właściwego celu lekcji,

4) dopilnowanie, aby uczniowie opanowali pojęcia niezbędne do pra­widłowego przebiegu nowego poznania,

5) właściwe formułowanie pytań i żądanie pełnych odpowiedzi,

6) właściwe kierowanie i organizowanie obserwacji uczniów,

7) niedoprowadzanie do uogólnień na podstawie jednego przykładu, chyba, że towarzyszy temu ogromne zabarwienie emocjonalne,

8) unikanie dokonywania uogólnień na podstawie cech nieistotnych,

9) niedoprowadzenie do uogólnień, jeżeli brak odpowiedniego materia­łu porównawczego,

10) podsumowywanie istoty treściowej lekcji,

11) ustosunkowanie się do odpowiedzi uczniów i ich ocena,

12) unikanie wyręczania uczniów w pokonywaniu trudności w myśle­niu,

13) unikanie wyciągania wniosków za uczniów,

14) unikanie kształtowania zbyt wielu pojęć na jednej lekcji.

Z zasygnalizowanych, z konieczności w skrócie, problemów wyni­ka, iż proces kształtowania pojęć u dzieci jest złożony i wymaga od nauczyciela stosowania bardzo skutecznych metod pracy i przestrzega­nia wszystkich etapów pracy nad nimi. Należy więc systematycznie sięgać do wszelkiej literatury związanej z tą problematyką.

Kształtowanie pojęcia liczb naturalnych pierwszej dziesiątki

Podstawy kształtowania pojęcia liczby naturalnej:

Liczba - pojęcie abstrakcyjne, jeden z podstawowych obiektów matematycznych. Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite”, itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego. Konstrukcję można też przeprowadzać od drugiej strony, to znaczy zacząć od zdefiniowania np. liczb rzeczywistych za pomocą aksjomatów, a następnie określić prostsze typy liczb jako podzbiory z tymi samymi działaniami. Wszystkie te sposoby prowadzą do równoważnych (izomorficznych) tworów.

Cyfra - umowny znak pisarski służący do zapisywania liczb.

Ukształtowanie pojęcia liczby naturalnej należy do podstawowych zadań nauczania matematyki w klasie I. Proces ten rozpoczyna się bardzo wcześnie, jeszcze długo przed pójściem dziecka do przedszkola. Przez cały czas dziecko gromadzi doświadczenia posługując się konkret­nymi wielkościami.

W okresie przedszkolnym w wielu przypadkach pozorne przyspie­szenie osiąga dziecko w momencie opanowania liczenia do 10, a nawet dalej. Otoczenie dziecka (rodzice, rodzeństwo itd.) jest tym faktem zachwycone, nie zwracając uwagi na to, że jest to często mechaniczne zapamiętanie słów (wierszyk, gra słów), bez zrozumienia ich znaczenia. To nie jest jeszcze najgorsze, ale najgorsze jest to, że rodzina przestaje zabiegać o ćwiczenia w tym zakresie, rozmawiać na ten temat z dziec­kiem, dostarczać gier i zabaw, które dalej rozwijałyby dziecko. Wszy­stko dlatego, że dziecko już liczy. Jest to bardzo niekorzystny okres dla rozwoju pojęcia liczby, powodujący zatrzymanie postępów lub nawet regres.

Dzieci te w klasie I wyraźnie nie radzą sobie z wieloma ćwiczenia­mi prowadzącymi do kształtowania pojęcia liczby, bo ich nie próbowały, nie wykonywały i nie są do nich przygotowane.

To, czy uczeń klasy I rozumie liczbę jako pojęcie abstrakcyjne (wtórne), czy nadal będzie widział tylko jej konkretne realizacje (np. trzy - to trzy pieski, piłki itp.) zależy od właściwego doboru ćwiczeń w porównywaniu zbiorów.

Kształtowanie pojęcia liczebności zbioru

Podstawy klasyfikacji ilościowej zbiorów:

1. W celu lepszego przygotowania uczniów klasy I do rozumienia pojęcia liczby i działań na liczbach, elementy teorii mnogości z jej ilościowym aspektem poprzedzają nauczanie arytmetyki. Dzieci przedszkolne wykonują także wiele konkretnych ćwiczeń prowadzą­cych do kształtowania pojęcia liczby elementów zbioru. Bardzo często robią to najpierw samorzutnie przeliczając (porównując, odwzorowując) przedmioty, którymi operują. Potem nauczyciel już celowo organizuje zabawy i ćwiczenia w tym zakresie.

2. Znacznie trudniejsze jest określanie stosunków ilościowych między zbiorami niż stosunków jakościowych. Dlatego też, zgodnie z progra­mem, liczebność zbiorów początkowo określana jest tylko ogólnie: tyle samo, więcej, mniej.

3. Jednym z podstawowych pojęć z zakresu liczebności zbiorów jest pojęcie: zbiory równoliczne i zbiory równe. Równoliczność zbiorów to pojęcia skomplikowane i trudne, bowiem uczniowie muszą wyabs­trahować tylko czynnik ilości i uświadomić sobie, że czynnik prze­strzenny i wielkościowy elementów danego zbioru (bez względu na miejsce jakie zajmuje), nie wpływa na liczebność. Natomiast zbiory równe to zbiory równoliczne, ale jednorodne (np. dwa równoliczne zbiory orzechów są równe itp.).

4. W ćwiczeniach z tym związanych nauczyciel powinien pamiętać, iż odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne dwóch zbiorów równolicznych prowadzi do możliwości rozpatrywania przykładów związanych z:

a) przechodniością równoliczności (jeżeli zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B i B jest równoliczny ze zbiorem C, to zbiór A jest równoliczny ze zbiorem C),

b) symetrią równoliczności (jeżeli zbiór A jest równoliczny ze zbio­rem B, to także zbiór B jest równoliczny ze zbiorem A),

c) zwrotnością równoliczności (każdy zbiór jest równoliczny sam ze sobą - zbiór A jest zawsze równoliczny ze zbiorem A). W związku z powyższym, uczniowie powinni zrozumieć również dalsze zależności, mianowicie:

a) jeżeli więc pierwszy zbiór ma więcej elementów niż zbiór drugi, to zbiór drugi ma mniej elementów niż pierwszy,

b) jeżeli pierwszy zbiór ma więcej elementów niż drugi, a drugi mniej niż trzeci, to pierwszy zbiór ma z pewnością więcej elemen­tów niż trzeci (przechodniość nierównoliczności).

5. Abstrahowanie ilości dotyczy głównie liczebności zbiorów, ale wiąże się także ze stosunkami jakościowymi między zbiorami. Każdy zbiór mający więcej przedmiotów (elementów) jest większy od innego zbioru, który ma mniej elementów. Trudność polega tutaj na począt­kowym nierozgraniczeniu przez uczniów cech ilościowych od jego wielkości przestrzennej (o czym wspomniałem) i dlatego przy porów­nywaniu (szacowaniu) na oko liczebności dwóch zbiorów, o różnych jakościowo cechach czy przedmiotach, uczniowie stwierdzają myl­nie, że np. wiadro to więcej niż kubek lub dzieci w klasie to więcej niż kartek w książce. W celu właściwego i możliwie szybkiego ukształtowania pojęcia ilości należy brać pod uwagę następujące wskazania i realizować je etapami:

a) ilość elementów w zbiorze oceniać na oko tylko przy małej ich liczbie (np. od l do 3, najwyżej 4 elementów), łatwej do jednora­zowego, globalnego uchwycenia wzrokiem,

b) przy większej ilości elementów należy dwa zbiory porównać (uszeregować parami), ustalając odpowiedniość wzajemnie jed­noznaczną i stwierdzić, czy są równoliczne. W porównywaniu zbiorów ze względu na liczebność uważa się bowiem, że dwa zbiory mają po tyle samo elementów (czyli są równoliczne) wtedy, gdy wszystkie elementy (przedmioty) obu zbiorów można połą­czyć w pary w taki sposób, że w każdej parze znajduje się po jednym elemencie z każdego zbioru. W ten sposób łatwo stwier­dza się, czy zbiory są równoliczne (przy pełnej liczbie par, zbiory mają po tyle samo elementów). Na początku należy rozpatrywać przykłady przedmiotów, które do siebie pasują (np. szklanka -łyżeczka, szklanka - podstawek, talerzyk - filiżanka, jabłka -talerze, misie - piłki), a potem inne (np. zbiór jabłek odwzorowywać patyczkami, zbiór kaczek liczmanami itp.),

c) odwzorowywać zbiory metodą graficzną, łącząc strzałkami ele­menty jednego zbioru z elementami drugiego zbioru,

d) odwzorowywać zbiory przez zbiory (układanie lub dorysowywa­nie zbiorów równolicznych do danych),

e) dopiero teraz, gdy dzieci zauważą tę własność, można porówny­wać zbiory przez przeliczanie i potwierdzanie wyniku przelicze­nia przyporządkowaniem parami.

6. Dla zrozumienia pojęcia stałej liczby elementów w danym zbiorze, uczniowie elementy tego samego zbioru powinni przeliczać różnymi sposobami: od lewej do prawej i odwrotnie, od środka lub innego miejsca w jedną, a potem w drugą stronę, parami lub większymi grupami według kolorów, przeznaczenia, wielkości, układaniem rzę­dami po 3 lub 4 elementy, wkładaniem do pudełek itp.

7. Ćwiczenia w porządkowaniu według liczebności układu kilku zbio­rów ma doprowadzić do rozumienia miejsca danej liczby między innymi liczbami (Program, s. 55) oraz rozumienia miejsca liczb mniejszych i większych w stosunku do rozpatrywanej liczby, a jedno­cześnie zdawanie sobie sprawy przez uczniów z sąsiedztwa liczb.

Kształtowanie pojęcia dodawania i odejmowania liczb

Niektóre aspekty kształtowania pojęcia dodawania i odejmowania:

Chodzi tu o zrozumienie, poprzez dodawanie i odejmowanie na konkretach, a potem na przedmiotach wyobrażanych, działań na liczbach. Oznacza to, że uczeń w rezultacie rozumie sens działania (np.: 6+1) oderwanego od konkretnej sytuacji.

Symbolicznym zapisem działania na liczbach jest formuła mate­matyczna (wzór) odzwierciedlona za pomocą cyfr i znaków matematy­cznych oraz odpowiadających im słów (myśli, operacji w trakcie mówienia lub czytania). Dla przykładu: 6+1 = 7 (sześć, dodać lub plus jeden, równa się lub jest siedem).

Należy uczniów stopniowo wdrażać do poprawnego odczytywania treści formuły, a później do konstruowania manipulacyjnego na kon­kretnych przykładach (dokładania, dobierania, dosuwania, łączenia, dosypywania lub zabierania, odsuwania itd.), słownego i symbolicz­nego formułowania oraz ich zapisu.

Rola operacji w kształtowaniu pojęć

Kształtowanie pojęć należy do grupy najważniejszych zagadnień procesu dydaktycznego. Nie może ono przebiegać żywiołowo, lecz w sposób wysoce zorganizowany, przemyślany i zaplanowany.

Podstawowym i koniecznym warunkiem sprawnego działania umysłowego jest odpowiednia motywacja. Natomiast zainteresowania, koncentracja uwagi i zrozumienie to kolejne warunki sprawnej pracy umysłowej i szybkiego opanowania materiału.

Dziecko w 2 - 8 roku życia myśli za pomocą obrazów. Jest to, zdaniem J. Piageta, myślenie oglądowe lub intuicyjne, obejmujące cały wiek przedszkolny. Oglądowość myślenia polega na tym, że zinterioryzowane czynności umysłowe prezentują czynności zewnętrzne, a my­ślenie skupia się na spostrzeganym pojedynczym elemencie. Czynności myślowe w wieku przedszkolnym nie są jeszcze operacjami, zaś w działaniu dziecko uwzględnia jedno z wybranych kryteriów np. kolor, wielkość, kształt itp., ale myślenie dziecka 6-letniego charakteryzuje się już odwracalnością.

W procesie kształtowania pojęć nauczyciel w klasach początko­wych ma wiele kłopotów, a zwłaszcza w klasie I, w której układ treści nauczania jest spiralny (bazuje na wiedzy zdobytej przez ucznia). Nauczanie geometrii w klasach początkowych ma duże wartości kształ­tujące i wychowawcze: rozwija wyobraźnię, uczy logicznego myślenia, poprawnego i ścisłego mówienia, przygotowuje uczniów do nauki geo­grafii, fizyki, wychowania technicznego, przygotowuje do życia prakty­cznego, wyrabia staranność i dokładność, rozbudza zainteresowania i zamiłowania, wyrabia uwagę i pamięć. Wartości te ściśle się ze sobą zazębiają i warunkują. Z osiąganiem ich uczniowie często mają trudno­ści, gdyż w nauczaniu geometrii często popełniane są błędy.

Bibliografia:

1. Z. Semadeni „Nauczanie początkowe matematyki”, Warszawa 1985r.

2. E. Stucki „Nauczanie w klasach niższych”, Bydgoszcz 1998r,1999r,2000r.

3. Z. Cydzik „Nauczanie matematyki w klasie pierwszej i drugiej”, Warszawa 1986r.

---