Powierzchnia i jej przedstawienie parametryczne

Zbiór X punktów przestrzeni euklidesowskiej E₃ nazywamy płatem prostym, jeżeli istnieje odwzorowanie f wzajemnie jednoznaczne i ciągłe domkniętego prostokąta D na zbiór X.

Wprowadźmy w przestrzeni E₃ prostokątny układ osi współrzędnych i weźmy zbiór X punktów (x,y,z)
E₃ takich, że z = f(x,y), gdzie f jest funkcją określoną i ciągłą w domkniętym prostokącie

D = { (x, y) : x
< a, b > ^ y
< c, d > }.

Tak określony zbiór jest płatem prostym

Z

v

X

(u,v)

r (u,v) D

0 0

Y u

X

Wezmy teraz pod uwagę przestrzeń E₃ odniesiona do układu prostokatnego, którego elementami są punkty (u,v). Wtedy płat prosty X możemy traktować jako hodograf ciągłej i różnowartościowej funkcji wektorowej

r (u,v) = [ x(u,v), y(u,v), z(u,v)]. (1)

określonej w domknietym prostokacie D.

Jeżeli hodograf funkcji wektorowej jest płatem prostym X, to funkcję r (u,v) nazywamy przedstawieniem parametrycznym płata X, zaś równanie r = r (u,v) nazywamy równaniem parametrycznym tego płata a u i v parametrami.

Równanie r (u,v) możemy zapisać w postaci trzech równań (por. (1))

x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v) (2)

które nazywamy równaniami parametrycznymi płata prostego.

Płatem prostym nie jest np. sfera lub powierzchnia boczna walca.