DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE 2004/05

KATEGORIA: GIMNAZJA

¾ FINAŁU

1. Pośrodku Kwadratowego Stawu leży Kwadratowa Wyspa, patrz rysunek.

Pomysłowy Dobromir ma dwie deski długości ¹⁹⁴⁵/₂₀₀₅ i chce z nich zbudować most prowadzący z brzegu na wyspę. Nie chce desek łamać ani kleić, ale może układać jedne na drugich. Czy to wykonalne?

2. 
   jest krótszą przekątną równoległoboku ABCD. W jakim stosunku dzieli ją odcinek poprowadzony z punktu B do środka
   ?

3. Oblicz
   .

4. Jak sprytnie obliczyć za pomocą 10-cyfrowego kalkulatora dokładny wynik działania 12345678910111213⋅13121110987654321?

5. Ile różnych łamanych zamkniętych może wykreślić piłka rzucana kolejno co tyle samo osób w gronie n dziewcząt stojących w równych odstępach na obwodzie koła?

6. Model KLEP 2005 jest klepsydrą składającą się z trzech identycznych zbiorników rozmieszczonych symetrycznie, z których każdy jest połączony z dwoma pozostałymi. Po ustawieniu klepsydry na dowolnych dwóch zbiornikach zawartość górnego przesypuje się do nich równocześnie ze stałą prędkością. Jeśli górny pojemnik zawiera cały piasek z klepsydry, to na jego opróżnienie potrzeba 16 minut. Czy za pomocą tej klepsydry da się odmierzyć 9 minut?

7. Każdy z 20 honorowych członków Polskiego Towarzystwa Miłośników Nietoperzy zna co najmniej 10 honorowych członków. Udowodnij, że pewnych 4 honorowych członków można posadzić przy kwadratowym stole, tak by każdy siedział pomiędzy swoimi dwoma znajomymi. (Zakładamy, że relacja znajomości jest symetryczna, tzn. jeśli A zna B, to B zna A).

8. Liczby 1, 2, ..., 2005 rozmieszczono w dowolny sposób na okręgu. Możemy zamienić miejscami dwie sąsiednie liczby, jeśli moduł ich różnicy jest większy niż 1. Czy zawsze można w ten sposób ustawić je w porządku rosnącym zgodnie z ruchem wskazówek zegara?

9. Rozwiąż układ równań:
   .

10. Dla jakich całkowitych k liczba
    jest całkowita?

11. Oblicz pole wypukłego pięciokąta ABCDE, w którym boki AB=CD=EA=BC+DE=1, a kąty ABC i DEA są proste.

12. Wzdłuż 15-kilometrowego odcinka autostrady A0 rozmieszczono w równych odstępach reklamy Pewnej Firmy. Jadąc ze stałą prędkością, pani Magda zauważyła, że liczba reklam, które mija w ciągu minuty, pomnożona przez 15 jest dokładnie jej prędkością wyrażona w km/h. W jakiej odległości rozmieszczone są reklamy?

1

1