Wymiarowanie słupów drewnianych

Obliczeniowe wartości oddziaływań według Eurokodu 5-1-1

Obliczeniowe wartości oddziaływań określa się na podstawie wzoru:

E_d = Σγ_G,j ⋅ G_k,j + γ_Q,1 ⋅ Q_k,1 + Σγ_Q,i ⋅ Ψ_0,i ⋅ Q_k,i

Należy rozpatrzyć dwie kombinacje obciążeń:

• Kombinacja 1 obejmuje obciążenie stałe, obciążenie zmienne jako główne i obciążenie wiatrem jako towarzyszące. Kombinacja ta wyraża się wzorami:

N_d1 = F_d1 = γ_G ⋅F_g + γ_Q,1 ⋅ F_p (1)

q_d1 = γ_Q,2 ⋅ ψ_0,2 ⋅ w (2)

• Kombinacja 2 obejmuje obciążenie stałe, obciążenie wiatrem jako główne i obciążenie zmienne jako towarzyszące. Kombinacja ta wyraża się wzorami:

N_d2 = F_d2 = γ_G ⋅F_g + γ_Q,2 ⋅ ψ_0,2 ⋅ F_p (3)

q_d2 = γ_Q,1 ⋅ w (4)

Właściwości materiałowe

Wartości właściwości materiałowych określa się w oparciu o dane tabelaryczne (E_0,mean, E_0,05, G_mean) oraz oblicza się według wzorów:

f_m,d = k_mod ⋅ f_m,k /γ_M (5)

f_c,0,d = k_mod ⋅ f_c,0,k /γ_M (6)

gdzie: k_mod - współczynnik modyfikacji,

γ_M - częściowy materiałowy współczynnik bezpieczeństwa.

Sprawdzenie stanów granicznych nośności

σ_c,0,d /(k_c,y ⋅ f_c,0,d) + σ_m,y,d /(k_crit ⋅ f_m,d) ≤ 1,0 (7)

σ_c,0,d /(k_c,z ⋅ f_c,0,d) + (k_m ⋅ σ_m,y,d) /(k_crit ⋅ f_m,d) ≤ 1,0 (8)

k_c,y = [k_y + (k_y² + λ_rel,y²)]^-1 k_c,z = [k_z + (k_z² + λ_rel,z²)]^-1 (9)

k_y = 0,5 [1 + β_c (λ_rel,y - 0,5) + λ_rel,y²] k_z = 0,5 [1 + β_c (λ_rel,z - 0,5) + λ_rel,z²] (10)

β_c = 0,2 dla drewna litego, β_c = 0,1 dla drewna klejonego warstwowo,

λ_rel,y = (f_c,0,k /σ_c,crit,y)^0,5 λ_rel,z = (f_c,0,k /σ_c,crit,z)^0,5 (11)

σ_c,crit,y = π² ⋅ E_0,05 /λ_y² σ_c,crit,z = π² ⋅ E_0,05 /λ_z² (12)

λ_y = s_k / i_y λ_z = s_k / i_z

s_k = L ⋅ 10³ - długość słupa [mm]

i_y = h/12^0,5 i_z = b/12^0,5 - promienie bezwładności względem osi y i z [mm]

λ_rel,m = (f_m,k / σ_m,crit)^0,5 (13)

σ_m,crit = (π ⋅ b² ⋅ E_0,05 ⋅ G_mean^0,5) / (L_ef ⋅ h ⋅ E_0,mean^0,5) (14)

k_crit = 1,0 - dla λ_rel,m ≤ 0,75 (15a)

k_crit = 1,56 - 0,75 λ_rel,m - dla 0,75 < λ_rel,m ≤ 1,4 (15b)

k_crit = λ_rel,m² - dla λ_rel,m > 1,4 (15c)

k_m = 0,7 dla przekroju prostokątnego, k_m = 1,0 dla innych przekrojów.

Dane tabelaryczne:

f_m,k = ...... MN/m²

f_c,0,k = ...... MN/m²

k_mod = 0,90 (patrz tabela)

Czas działania obciążenia: krótki (miarodajne obciążenie wiatrem)

Klasa użytkowania ....

γ_M = 1,3

E_0,mean = ........ MN/m²

E_0,05 = ............ MN/m²

G_mean = ........... MN/m²

β_c = 0,2 (dla drewna litego) β_c = 0,1 (dla drewna klejonego warstwowo)

k_m = 0,7 (dla przekroju poprzecznego prostokątnego)

A = b ⋅ h = ...... x ...... = ........ m²

W_y = (b ⋅ h²)/6 = (..... x .....²)/6 = .......... m³

Kombinacja 1 (obciążenie stałe + obciążenie użytkowe + obciążenie wiatrem)

N_d1 = F_d1 = γ_G ⋅F_g + γ_Q,1 ⋅ F_p = 1,35 ⋅ 100 + 1,5 ⋅ 200 = 435 kN

q_d1 = γ_Q,2 ⋅ ψ_0,2 ⋅ w = 1,5 ⋅ 0,6 ⋅1,5 = 1,35 kN/m

⇒ M_d1 = (q_d1 ⋅L²) / 8 = (1,35 ⋅ 4,5²) / 8 = 3,42 kNm = 3,42 ⋅ 10^-3 MNm

Kombinacja 2 (obciążenie stałe + obciążenie wiatrem + obciążenie zmienne)

N_d2 = γ_G ⋅F_g + γ_Q,2 ⋅ ψ_0,2 ⋅ F_p = 1,35 ⋅ 100 + 1,5 ⋅ 0,7 ⋅ 200 = 345 kN

q_d2 = γ_Q,1 ⋅ w = 1,5 ⋅ 1,5 = 2,25 kN/m

⇒ M_d2 = (q_d2 ⋅L²) / 8 = (2,25 ⋅ 4,5²) / 8 = 5,70 kNm = 5,7 ⋅ 10^-3 MNm

Właściwości materiału

f_m,d = k_mod ⋅ f_m,k /γ_M = 0,90 ⋅ 24/1,3 = 16,6 N/mm² = 16,6 MN/m²

f_c,0,d = k_mod ⋅ f_c,0,k /γ_M = 0,90 ⋅ 21/1,3 = 14,5 N/mm² = 14,5 MN/m²

Sprawdzenie stanów granicznych nośności

L = 4,5 m

i_y = h/12^0,5 = 360/12^0,5 = 104 mm

i_z = b/12^0,5 = 240/12^0,5 = 69 mm

λ_y = s_k / i_y = 4500/104 = 43,3

λ_z = s_k / i_z = 4500/69 = 65,2

σ_c,crit,y = π² ⋅ E_0,05 /λ_y² = 3,14² ⋅ 7,4 ⋅ 10³/43,3² = 38,9 N/mm²

σ_c,crit,z = π² ⋅ E_0,05 /λ_z² = 3,14² ⋅ 7,4 ⋅ 10³/65,2² = 17,2 N/mm²

λ_rel,y = (f_c,0,k /σ_c,crit,y)^0,5 = (21/38,9)^0,5 = 0,73

λ_rel,z = (f_c,0,k /σ_c,crit,z)^0,5 = (21/17,2)^0,5 = 1,10

k_y = 0,5 [1 + β_c (λ_rel,y - 0,5) + λ_rel,y²] = 0,5 [1 + 0,2 (0,73 - 0,5) + 0,73²] = 0,78

k_z = 0,5 [1 + β_c (λ_rel,z - 0,5) + λ_rel,z²] = 0,5 [1 + 0,2 (1,1 - 0,5) + 1,10²] = 1,135

k_c,y = [k_y + (k_y² - λ_rel,y²)^0,5]^-1 = [0,78 + (0,78² - 0,73²) ^0,5]^-1 = 0,95

k_c,z = [k_z + (k_z² - λ_rel,z²)^0,5]^-1 = [1,135 + (1,135² - 1,10²) ^0,5]^-1 = 0,707

σ_m,crit = (π⋅b² ⋅E_0,05 ⋅G_mean^0,5)/(L_ef ⋅h⋅E_0,mean^0,5) =

[3,14⋅240² ⋅7,4⋅10³ (0,69⋅10³)^0,5]/[4500⋅360⋅(11⋅10³)^0,5] = 207,1 N/mm²

λ_rel,m = (f_m,k / σ_m,crit)^0,5 = (24/207,1)^0,5 = 0,34 ≤ 0,75 ⇒ k_crit = 1,0

Kombinacja 1

σ_c,0,d = N_d/A = 435 ⋅ 10³/86400 = 5,03 N/mm² = 5,03 MN/m²

σ_m,y,d = M_d/W_y = 3,42⋅10⁶/5184000 = 0,66 N/mm² = 0,66 MN/m²

Sprawdzenie:

σ_c,0,d /(k_c,y ⋅ f_c,0,d) + σ_m,y,d /(k_crit ⋅ f_m,d) =

5,03 /(0,95 ⋅ 14,5) + 0,66/(1,0 ⋅ 16,6) = 0,40 ≤ 1,0

σ_c,0,d /(k_c,z ⋅ f_c,0,d) + (k_m ⋅ σ_m,y,d) /(k_crit ⋅ f_m,d) =

5,03 /(0,707 ⋅14,5) + (0,7 ⋅ 0,66)/( 1,0 ⋅ 16,6) = 0,62 ≤ 1,0

Kombinacja 2

σ_c,0,d = N_d/A = 345 ⋅ 10³/86400 = 3,99 N/mm²

σ_m,y,d = M_d/W_y = 5,70⋅10⁶/5184000 = 1,10 N/mm²

Sprawdzenie:

σ_c,0,d /(k_c,y ⋅ f_c,0,d) + σ_m,y,d /(k_crit ⋅ f_m,d) =

3,99 /(0,95 ⋅ 14,5) + 1,10/(1,0 ⋅ 16,6) = 0,36 ≤ 1,0

σ_c,0,d /(k_c,z ⋅ f_c,0,d) + (k_m ⋅ σ_m,y,d) /(k_crit ⋅ f_m,d) =

3,99 /(0,707 ⋅14,5) + (0,7 ⋅ 1,10)/( 1,0 ⋅ 16,6) = 0,43 ≤ 1,0