WPROWADZENIE DO SYSTEMÓW TELEKOMUNIKACYJNYCH

SEMINARIUM

Marcin Kulas Rok akademicki 97/98

Rok III / Grupa TEL

Zadanie 15 / Z-1

Wyznaczyć metodą pochodnych transformatę Fouriera funkcji sgnω. Na jej podstawie wyznaczyć transformatę dystrybucji 1(t).

Rozwiązanie:

Funkcja sgn(t) została przedstawiona na poniższym rysunku. Dla wartości czasu mniejszych od zera przyjmuje wartości -1, zaś dla czasów dodatnich wartość 1.

= F(ω)

Poniższy rysunek przedstawia pochodną tej funkcji. Odpowiada jej transformata jωF(ω).

= jωF(ω)

Amplituda selty Dirac'a wynosi:

jωF(ω) = 2

Stąd otrzymujemy transformatę funkcji signum jako:

F(ω) = 2 / jω

Skok jednostkowy 1(t) przedstawiony poniżej ma natomiast następującą transformatę:

F(ω) = πδ(ω) + 1/jω

Jest on podobny do funkcji sgn(t) lecz dla wartości ujemnych wartość funkcji równa jest zeru.

Funkcja Heaviside'a nie ma transformaty Fouriera w sensie zwykłym, lecz tylko w sensie dystrybucji.

Ponieważ:

Ostatecznie otrzymujemy: