1D

Stosuje się ciąg Pascala (1,x,x²,x³,…)

Ux_A-A=a₁+a₂x+a₃x²⁺a₄x³

ε_xA-A=dUx_A-A/dx=a₂+2a₃x+3a₄x²

2D

Wielomian zbudowany na podstawie dwuwymiarowego ciągu zwanego Trójkątem Pascala

1 - funkcje stałe

x y - f. liniowe

x² xy y² - f. kwadratowe

x³ x²y xy² y³ - f. sześcienne

x⁴ x³y x²y² xy³ y⁴ - f. do czwartej

x⁵ x⁴y x³y x²y² xy³ xy⁴ y⁵ - f. do piatej

Należy przy tym zwrócić uwagę, aby wielomiany nie zawierały składników uprzywilejowanych, czyli aby były geometrycznie izotropowe.

3D

Funkcje kształtu dobierane są na podstawie Trójwymiarowego ciągu Pascala

CAD - komputerowe wspomaganie projektowania

-Modelowanie, Optymalizacja, Systemy doradcze,

- zarządzanie danymi,

- bazy danych,

- koncepcja,

- konsultacja, -

gospodarka materiałowa,

- logika projektowania,

- dokumentacja konstrukcji

- Obliczenia inżynierskie

→Metody numeryczne: →MES, MEB… i →Symulacje i animacje pracy

→Metody analityczne `klasyczne'

Dyskretyzacja zasady

- model dyskretny musi opisywać dokładnie postać geometryczną dyskretyzowanego modelu

- węzły (?korby? konstrukcyjne muszą mieć dostatecznie gęstą siatkę podziału)

Elementy skończone (klasyfikacja - kryteria)

- wymiar elementu (1,2,3D)

- kształt geometryczny

- stopień ?wielomianu? przyjętej funkcji kształtu

- liczba węzłów

- ze względu na nałożone więzy (cięgnowy - 2 więzy, prętowy, belkowy)

Elementy skończone (kształt geometryczny):

Płaskie

- punktowe, odcinkowe, trójkątne, czworokątne, wielokątne

Przestrzenne:

- czterościenne, pięciościenne, prostopadłościenne, osiowosymetryczne

Element tarczowy:

{F}el.=[k]·{V}el.

CST- stałe odkształcenie. Liniowa funkcja kształtu

(2D) - ciąg Pascala

funkcje kształtu dla trójkątnego elementu

Ux₁=a₁+a₂x+a₃y

Uy=a₄+a₅x+a₆y

{Ux Uy} = [A] · {a}

┌ 1xy000 ┐

A= │ │

└ 0001xy ┘

Ux₁=a₁+a₂x₁+a₃y₁

Uy₁=a₄+a₅x₁+a₆y₁

Ux₂=a₁+a₂x₂+a₃y₂

Uy₂=a₄+a₅x₂+a₆y₂

Ux₃=a₁+a₂x₃+a₃y₃

Uy₃=a₄+a₅x₃+a₆y₃

{V}el.=[C] ·{a}

{a}=[C]^-1·{V}el.

{Ux, Uy}=[A][C]^-1·{V}el.

Płaski stan odkształcenia (PSO)

{ε _x } = dUx/dx

{ε}= {ε _y } = dUy/Dy

{γ_xy} = dUx/dy +dUy/dx

LST - Liniowe odkształcenie kwadratowe funkcji kształtu

zwiększenie dokładności - większa liczba węzłów

Ux=a₁+a₂x+a₃y+a₄x²+a₅xy+a₆y²

Uy=a₇+a₈x+a₉y+a₁₀x²+a₁₁xy+a₁₂y²

ε_x=a₂+2a₄x+a₅y

ε_y=a₉+a₁₁x+2a₁₂y

FEM - metoda elementów skończonych (1956 r. prof. Turner)

„Ojciec „ FEM prof. Zienkiewicz (wydał książkę „Metoda elementów skończonych”)

FEM dla różnych zagadnień powierzchniowych

FEM w mechanice strukturalnej

(np. Szmelter 1969, Zienkiewicz 1967,)

FEM ujęcie wariancyjne? FEM ujęcie macierzowe, ujęcie lokalne,

podstawy FEM (Turner i inni 1956) Metoda bezpośredniej sztywności

FEM (4etapy)

1. *Wybór typu funkcji na którym bazować będzie model MES

a) - reprezentacja przemieszczeniowa

- reprezentacja naprężeniowa

- reprezentacja hybrydowa

b) - w ujęciu energetycznym

- w ujęciu wariacyjnym

* dyskretyzacja obszaru, tj. podział modelu na elementy skończone

2. *wybór położenia węzłów i liczby współrzędnych uogólnionych

* wybór funkcji aproksymacji (kształtu) w elementach

* obliczenie macierzy elementu [k], [m], [c]…

3. Agregacja macierzy elementów:

* budowa globalnej macierzy [K], [M], [C]…

* budowa wektora obciążenia [R], [R(t)]…

* wprowadzenie kinematycznych warunków brzegowych

4. Rozwiązywanie układu równań:

* statyka konstrukcji [K]{r}={R}

* dynamika (równanie ruchu)

* zagadnienia sprężysto - plastyczne

([K] - [Kp])Δ{r}=Δ{R}

* nieliniowości geometryczne

([K] - λ[K_E])d{r}=0

Funkcje kształtu

Najczęściej stosowanymi funkcjami elementów są wielomiany budowane na podstawie:

- ciągów Pascala

- wielomianów Lagrange'a

- wielomianów Hermite'a

---