prostokątny:

r^→(t)=x(t) n^{^}_x+y(t) n^{^}_y+z(t) n^{^}_z

v^→(t)=dr^→/dt=x^ (t) n^{^}_x+y^ (t) n^{^}_y+z^(t) n^{^}_z

|v|=sqrt((x^)²+(y^)²+(z^)²)

a^→=dv^→/dt=d²r^→/dt²=x^(t) n^{^}_x+y^(t) n^{^}_y+z^(t) n^{^}_z

|a|=sqrt((x^)²+(y^)²+(z^)²)

walcowy: (ρ prom. cyl.; ϕ(xoz,zop); z−wys.)

r^→(t)=ρn^{^}_ρ ϕn^{^}_ϕ

v^→(t)=dr^→/dt=ρ^ n^{^}_ρ+p n^{^}_ρ^+z^ n^{^}_z

n^{^}_ρ=n^{^}_x cosϕ+n^{^}_y sinϕ

n^{^}_ϕ=n^{^}_x sinϕ+n^{^}_y cosϕ

n^{^}_ρ^=n^{^}_x sinϕ ϕ^+n^{^}_y cosϕ ϕ^ = ϕ^ n^{^}_ϕ

n^{^}_ϕ^=n^{^}_x cos ϕ ϕ^n^{^}_y sin ϕ ϕ^ = ϕ^n^{^}_ρ

v^→=ρ^ n^{^}_ρ+ρ ϕ^ n^{^}_ϕ + z^ n^{^}_z

|v|=sqrt((ρ^)²+(ρ ϕ^)²+(z^)²)

a^→=dv^→/dt=ρ^+ρ^ n^{^}_ρ^+ρ^ ϕ^ n^{^}_ϕ+ρ ϕ^ n^{^}_ϕ +ρ ϕ^n^{^}_ϕ^+z^n^{^}_z=n^{^}_ρ(ρ^ p(ϕ^)²) + n^{^}_ϕ(2ρ^ ϕ^+ρ ϕ^)+n^{^}_z z^

|a|=sqrt(ϕ^ρ(ϕ^)²)²+(2ρ^ ϕ^+ρ ϕ^)²+(z^)²)

dla ρ=R=const; ϕ= t, =const; z=0

mamy r^→(t)=R n^{^}_ρ v^→(t)= R n^{^}_ϕ a^→(t)=² R n^{^}_ρ

sferyczny: (r,ϕ,θ − zgodnie z rys str. 11)

n^{^}_r=sin θ (cos ϕ n^{^}_x+sin ϕ n^{^}_y)+ cos θ n^{^}_z

n^{^}_ϕ=sin ϕ n^{^}_x+cos ϕ n^{^}_y

n^{^}_θ=cos θ(cos ϕ n^{^}_y+sin n^{^}_y)sin θ n^{^}_z

r^→(t)=r n^{^}_r

v(t)= dr^→/dt=r^n^{^}_r+r n^{^}_r^

n^{^}_r^=cos θ θ^(cos ϕ n^{^}_x+sin ϕ n^{^}_y)+sin θ(sin ϕ ϕ^n^{^}_x+cos ϕ ϕ^n^{^}_y)sin θ θ^n^{^}_z = θ^n^{^}_θ +sin θ ϕ^n^{^}_ϕ

n^{^}_ϕ^=cos ϕ ϕ^n^{^}_xsin ϕ ϕ^n^{^}_y=sin θ ϕ^n^{^}_rcos θ ϕ^ n^{^}_θ

n^{^}_θ^=−sin θ θ^(cos ϕ n^{^}_x+sin ϕ n^{^}_y)cos θ θ^n^{^}_z +cos θ(sin ϕ ϕ^n^{^}_xcos ϕ ϕ^ n^{^}_y)=θ^n^{^}_r+cos θ ϕ^n^{^}_ϕ

v^→=r^n^{^}_r+r(θ n^{^}_θ+sin θ ϕ^ n^{^}_ϕ)=r^n^{^}_r+sin θ r ϕ^n^{^}_ϕ+r θ^n^{^}_θ

a^→=dv^→/dt=r^n^{^}_r+r^n^{^}_r^+cos θ θ^ r ϕ^ n^{^}_ϕ+sin θ r ϕ^n^{^}_ϕ+sin θ r ϕ^ n^{^}_ϕ^+sin θ r^ ϕ^ n^{^}_ϕ+r^θ^n^{^}_θ+r θ^n^{^}_θ+r θ^n^{^}_θ^

dla ρ=R=const; ϕ= t, =const; θ= π/2

mamy v^→(t)= R n^{^}_ϕ a^→(t)=² R n^{^}_r

normalny:

v^→(t)=dr^→/dt=ν n^{^}_ν

n^{^}_ν =v^→/ν =(dr^→/dt) / |dr^→/dt|

n^{^}_n =(dn^{^}_ν/dt) / |dn^{^}_ν/dt|

n^{^}_ν n^{^}_ν =1 ; (dn^{^}_ν/dt) n^{^}_ν+n^{^}_ν (dn^{^}_ν/dt)=0

(dn^{^}_ν/dt) n^{^}_ν=0 ; n^{^}_b=n^{^}_ν × n^{^}_n

v^→=ν n^{^}_ν

a^→=ν^n^{^}_ν+ν n^{^}_ν^=ν^n^{^}_ν+ν n^{^}_n |dn^{^}_ν/dt|

R=ν/| dn^{^}_ν/dt|

a^→=ν^n^{^}_ν+(ν² /R)n^{^}_n

zz pędu:

dp^→/dt=m(dv^→/dt)=ma^→=F^→

jeśli F^→=0 to p^→=const

jeśli F_α=0 to p_α=const

zz momentu pędu:

M^→=r^→ × p^→

dM^→/dt=dr^→/dr × p^→ + r^→ × dp^→/dt = r^→ × F^→ = L^→

{ dr^→/dr × p^→ =0 gdyż v^→ || p^→ } {L^→  moment siły}

zz energii: {rys. str. 24}

δA=F^→dr^→=|F^→||dr^→|cos α {δA - praca}

F^→(r^→)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))

(1) δA= F_x(x,y,z)dx+F_y(x,y,z)dy+F_z(x,y,z)dz

P=δA/dt {Pmoc}

P=(F^→ dr^→)/dt=F^→ v^→ {z def δA}

F^→=m dv^→/dt

P=mv^→ dv^→/dt {stąd ↑ ↑ }

T=m ν²/2 {Tenergia kinetyczna}

dT/dt=mv^→ dv^→/dt

d/dt(ν²)=d/dt(v^→ v^→)=v^→ (dv^→/dt) + (dv^→/dt) v^→ =2v^→ dv^→/dt

P=δA/dt=dT/dt

δA=dT {po pomnożeniu ↑ przez dt}

z (1) dU=(∂U(x,y,z)/∂x)dx+(∂U(x,y,z)/∂y)dy+(∂U(x,y,z)/∂z)dz

aby δA=dU to:

F_x(x,y,z)= (∂U(x,y,z)/∂x)dx

F_y(x,y,z)= (∂U(x,y,z)/∂y)dy tylko gdy F potencjalna

F_z(x,y,z)= (∂U(x,y,z)/∂z)dz

F^→=grad U {to samo ↑}

grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z)

rot F^→= |...|=0 to potencjalna

dowód:

gdy F_α=∂U/∂α α∈[x,y,z] to ↓

∂²U/∂y∂x=∂²U/∂x∂y, ∂²U/∂z∂x=∂²U/∂x∂z, ∂²U/∂y∂z=∂²U/∂z∂y

∂F_x/∂y=∂F_y/∂x, ∂F_x/∂z=∂F_z/∂x, ∂F_z/∂y=∂F_y/∂z => rot F^→=0

δA =dU {czy istnieje takie ← U aby ←}

δA=dT {z drugiej zaś strony}

δA=dT=dU {zatem ← albo ↓ }

d(T+U)=0 => E=T+U=const

nieinercjalne układy odniesienia: {rys. str. 33}

r^→(t)= r^{b →}(t)+ r_0b^→(t) poł. w inercj.}

r^→(t)=r_αn^{^}_α {r_αn^{^}_α=x n^{^}_x+y n^{^}_y+z n^{^}_z}

r^b→(t)= r_αbn^{^}_αb

dr^→(t)/dt=v^→(t)=dr_0b^→(t)/dt+dr^{b →}(t)/dt=v_0b^→+dr^{b →}(t)/dt

dr^{b →}(t)/dt=(dr_αb/dt)n^{^}_αb+ r_αb(dn^{^}_αb/dt) {ale ←}

v^→b=(dr_αb/dt)n^{^}_αb=v_αbn^{^}_αb {obs. z nieinerc}

(1) dr^{b →}(t)/dt=v^→b+r_αb(dn^{^}_αb/dt) {zatem ←}

|dn^{^}_xb|=|n^{^}_xb|sin α dχ {rys. str 34−35}

(2) dn^{^}_xb=dχ^→ × n^{^}_xb

|dχ^→|=dχ {umowa}

(2)/dt => { =dχ/dt} => dn^{^}_xb /dt = dχ^→/dt × n^{^}_xb = ^→ × n^{^}_xb {to samo dla Y i Z}

dn^{^}_αb /dt = ^→ × n^{^}_αb {ogólnie}

z (1) dr^→b/dt=v^→b+r_αb^→ × n^{^}_αb = v^→b+ ^→ × r^→b

r^→b(t)=r_αbn^{^}_αb gdzie ← 

v^→=v_0b^→+v^→b+^→ × r^→b

a^→=dv^→/dt=dv_0b^→/dt+dv^→b/dt+(d^→/dt)×r^→b+^→×(dr^→b/dt)

dr^→b/dt=v^→b+^→ × r^→b {ale ←}

dv^→b/dt=d(v_αbn^{^}_αb )/dt=(dv_αb/dt)n^{^}_αb+ v_αb(dn^{^}_αb/dt)=a^→b+ν_αb^→ × n^{^}_αb =a^→b+^→ × v^→b {natomiast ←}

(3) a^→=a^→b+a_αb+^>× r^→b+2^→ × v^→b +^→ × (^→ × r^→b)

F^→=ma^→ {w układzie inercjalnym mamy}

F^→=ma^→=ma^→b + ma_0b^→+ m^→×r^→b + 2m^→×v^→b + m^→×(^→×r^→b) {czyli ←}

ma^→b=F^→− ma_0b^→ − 2m^→×v^→b − m^→×r^→b − m^→×(^→×r^→b) {albo ←}

{bezwładności: d'Alemberta; Coriolisa; odśrodkowa, noname}

prawa zachowania dla punktów materialnych:

F^→=ma^→ = dv^→/dt {dla 1 punktu}

m_ia^→_i=Fⁱ, a^→_i=d²r_i/dt² {dla wielu podobnie}

F^→i=dp^→_i/dt {albo (masy m_i nie zależą od czas)}

P^→=Σ(i=1,N)p^→_i {całkowity pęd układu}

dP^→/dt=Σ(i=1,N)dp^→_i/dt=Σ(i=1,N)F^→i {oraz}

F^→i=F^→i_in+F^→i_ex

F^→i_in=Σ(j=1,N,j≠i)F^→ij_in {j−ty na i−ty}

dP^→/dt=Σ(i=1,N)F^→i=Σ(i=1,N)( F^→i_in+F^→i_ex)=Σ(i=1,N)(Σ(j=1,N,j≠i)( F^→i_in+F^→i_ex))= Σ(i,j=1,N,j≠i)F^→ij_in+ Σ(i=1,N)F^→i_ex= Σ(i,j=1,N,i>j)(F^→ij_in+F^→ji_in)+F^→_ex { F^→_ex=Σ(i=1,N) F^→i_ex}

F^→ij_in=−F^→ji_in {z Newton III} co prowadzi do dP^→/dt=F^→_ex

P^→=Σ(i=1,N)p^→_i {całkowity jest jedn. środka masy}

r_m=(Σ(i=1,N)(m_ir^→_i))/( Σ(i=1,N)m_i) {poł. śrdk. mas.}

r^_m=(Σ(i=1,N)(m_ir^→_i))/( Σ(i=1,N)m_i)=(Σ(i=1,N)p^→_i)/m=P^→/m

m=Σ(i=1,N)m_i

mr^→_m=p^→_m=P^→ {czyli ←}

M^→_i=r^→_i×p^→_i ; dM^→_i/dt=L^→i {L^→i=r^→_i×F^→i} ;{mom. i−o}

M^→=Σ(i=1,N)M^→_i=Σ(i=1,N)L^→i=Σ(i=1,N)(r^→_i×F^→i)=Σ(i=1,N)(r^→_i×F^→i_in+ r^→_i×F^→i_ex) {dla całego układu}

Σ(i=1,N)(r^→_i×F^→i_in)=Σ(i=1,N)(r_i×(Σ(j=1,N,j≠i)F^→ji_in))=Σ(i,j=1,N,i>j)(r^→_i×F^→ij_in+r^→_j×F^→ji_in)= Σ(i,j=1,N,i>j)(r^→_i−r^→_j)×F^→ij_in=0 {bo F^→ij_in=−F^→ji_in i (r^→_i−r^→_j) ||F^→ij_in) {ex olać}

δA_in=Σ(i=1,N)(δAⁱ_in)=Σ(i=1,N)(F^→i_indr^→_i)=Σ(i=1,N)Σ(j=1,N,j≠i)(F^→ij_indr^→_i)=Σ(i,j=1,N,i>j)F^→ij_in(dr^→_i− dr^→_j)

{( dr^→_i− dr^→_j) może być dow. zorient => δA_in≠0}

elementy dynamiki bryły sztywnej:

F^→ex=0 i L^→ex=0 {def bryły sztywnej}

r_i^→=r^b_i^→+r_0b^→ {poł. i−go pktu bryły sztywnej}

v_i^→=v_ib^→+v_0b^→+^→× r^b_i ^→ {ukł b w bryle rys. str. 41}

P^→=Σ(i=1,N)m_iv_i^→=Σ(i=1,N)m_iv_0b^→+Σ(i=1,N)(m_i^→× r^b_i ^→)=mv_0b+×m r^b_m {m=Σ(i=1,N)m_i}

M^→=Σ(i=1,N)M^→_i=Σ(i=1,N)(m_ir_i^→×v_i^→)=Σ(i=1,N)m_i(r_0b^→+r^b_i^→)×(v_0b^→+^→×r^b_i^→)=(Σ(i=1,N)(m_ir_0b^→×v_0b^→)+Σ(i=1,N)(m_ir_0b^→×(^→×r^b_i^→)+Σ(i=1,N)(m_ir^b_i^→×v_0b^→)+Σ(i=1,N)(m_ir^b_i^→×(^→×r^b_i^→)=mr_0b^→×v_0b^→+mr_0b^→×(^→×r^b_m^→)+mr^b_i^→×v_0b^→+Σ(i=1,N)(m_ir^b_i^→×(^→×r^b_i^→) {podobnie ←}

M^→=Σ(i=1,N)(m_ir^b_i^→×(^→×r^b_i^→)=Σ(i=1,N)(m_i( r^b_i²− r^b_i^→(^→ r^b_i^→))) {gdy (v_0b=0) i (r^b_m=0) to ←}

M_α=Σ(i=1,N)(m_i(r^b_i²^b_α−(^→ r^b_i^→) r^b_iα)=Σ(β^b)I_{αb βb} _βb

gdzie I_{αb βb}=Σ(i=1,N)m_i(r^b_i²δ_{αb βb}−r_iαb r_iβb) i δ_{αb βb}= 1(α=β) else 0 {tzw symbol Kroneckera}

M_xb I_xbxb I_xbyb I_xbzb _xb

M_yb=I_ybxb I_ybyb I_ybzb _yb

M_zb I_zbxb I_zbyb I_zbzb  _zb {oraz ↓}

[I_{αb βb}]=macież I wyrazona jako Σ(i=1,N)(m_i(odpowiednio: I_xbxb=y_ib²+ z_ib², I_xbyb=x_iby_ib))

to tensor bezwł. Z faktu ↓ wynika ↓↓

0≤T=Σ(i=1,N)(m_i v_i²)/2=Σ(i=1,N)I_{αb βb}_αb_βb

I₁ 0 0

[I_{αb βb}] =0 I₂ 0

0 0 I₃

transformacje Lorentza:

r^→=r_ob^→+r^→b=v_0b^→+r^→b {Galileusz}

v^→=v_ob.^→+v^→b {Galileusz}

sqrt((Δx)²+(Δy)²+(Δz)²)=cΔt {droga światła ← i ↓ }

sqrt((Δx^b)²+(Δy^b)²+(Δz^b)²)=cΔt^b

sqrt((Δx)²+(Δy)²+(Δz)²)−cΔt=sqrt((Δx^b)²+(Δy^b)²+(Δz^b)²)−cΔt^b=0 {← po zsumowaniu ↑ ↑↑

(Δs)²=(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²)−c²(Δt)² dla dow ΔxΔyΔzΔt ←}

(Δs)²=(Δs^b)² {bo związ miedz układami musi być liniow}

(Δs)²=(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²)−c²(Δt)²=(Δx₁)²+(Δx₂)²+(Δx₃)²+(Δx₄)² {powinno być zachow. | gdzie x₁ = x ... x₄=ict}

 cosϕ sinϕ 0 {dokładniej ←}

−sinϕ cosϕ 0 {cd str 50−51}

 c 0 1

x^b=(x−vt)/sqrt(1−v²/c²)

y^b=y

z^b=z

t^b=(t−vx/c²)/sqrt(1−v²/c²) {c −> ∞ to Galilieusz}

{odwrotnie mamy}

x=(x^b+vt)/sqrt(1−v²/c²)

y=y^b

z=z^b

t=(t^b+vx^b/c²)/sqrt(1−v²/c²)

relatywistyczne dodawanie prędkości:

u^→=dr^→/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)

u^→b=dr^→b/dt=(dx^b/dt,dy^b/dt,dz^b/dt)

dx^b=(dx−vdt)/sqrt(1−v²/c²) {„d” po Lorentz}

dy^b=dy {„d” po Lorentz}

dz^b=dz {„d” po Lorentz}

dt^b=(dt−dx v/c²)/sqrt(1−v²/c²) {„d” po Lorentz}

z↑ dx^b/dt^b=u_xb=(dx−vdt)/(dt−dxv/c²)=(u_x−v)/(1−u_xv/c²)

dy^b/dt^b=u_yb=dy/(dt−dxv/c²)sqrt(1−v²/c²)=u_y/(1−u_xv/c²) sqrt(1−v²/c²)

dz^b/dt^b=u_zb=dz/(dt−dxv/c²)sqrt(1−v²/c²)=u_z/(1−u_xv/c²) sqrt(1−v²/c²)

u^→b=[(u_x−v)/(1−u_xv/c²), u_y/(1−u_xv/c²) sqrt(1−v²/c²), u_z/(1−u_xv/c²) sqrt(1−v²/c²)]

{gdy c −> ∞ => Galileusz}

dynamika w szczególnej teorii:

p^→=m(v²)v^→ {def taka by klas gdy c−>∞}

{sprężyste zderzenie dwóch jednakowych kól str.56}

przed: u^A_yb=u ; u^A_xb=0 ; u^B_y=−u ; u^B_x=0

po: u^∼A_yb=u^∼ ; u^∼A_xb=0 ; u^∼B_y=−u^∼ ; u^∼B_x=0

{↓to samo co↑ tylko dla zzp i v^→ relatyw}

przed: u^A_y=u sqrt(1−v²/c²) ; u^A_x=ν ; u^B_y=−u ; u^B_x=0

po: u^∼A_y=u^∼sqrt(1−v²/c²) ; u^∼A_x=ν; u^∼B_y=−u^∼ u^∼B_x=0

{całkowity pedu układu przed i po}

(1) dla x: m[u²(1−v²/c²)+v²)v= m[u^∼2(1−v²/c²)+v²)v

(2) dla y: m[u²(1−v²/c²)+v²)u sqrt(1−v²/c²) − m(u²)u= m[u^∼2(1−v²/c²)+v²)u^∼ sqrt(1−v²/c²) − m(u^∼2)u^∼

z (1) u= ±u^∼ => z (2) mamy ↓ m[u²(1−u²/c²)+v²)sqrt(1−v²/c²)=m(u²)

gdy u−>0 to m(v²)=m(0)/sqrt(1−v²/c²) − masa relatywist.

m(0)= m(v²=0)= m(v²)|c−>∞ − masa spoczynkowa

p^→=(m(0)/sqrt(1−v²/c²))v^→

F^→=dp^→/dt=d/dt((m(0)/(1−v²/c²))v^→)

−−− koniec ↑ −−− zzEk zzT ↓ −−−

F^→dp^→/dt

dp_α/dt=(d(m(v²))/dt)v_α+m(v²)dv_α/dt {łatwo zauwazyć }

d(m(v²))/dt=(dm(v²)/d(v²))(d(v²)/dt)=1/c²(m₀/(1−v²/c²)^3/2)v_β (dv_β/dt) {ale ←}

F_α=dp_α/dt=m(v²)[dv_α/dt+v_α/(c²−v²)v_β dv_β/dt] {stąd ← }

F_α=m_{α β} a_β ; a_β=dv_β/dt {wówczas ←}

m_αβ =m(v²)[δ_αβ+(1/(c²−v²))v_αv_β] {gdzie ← /δ_αβKroneck}

F^→(dr^→/dt)=δA/dt=dT/dt {łatwo okreslić ←}

F^→(dr^→/dt)=F_αv_α=m_αβv_αa_β=dT/dt {łatwo dostrzec ←}

gdzie T=m(v²)c²+const {po rozwinięciu ← mamy ↓}

T=m(0)c²+m(0)v²/2+3m(0)v⁴/8c²+...+const

const = −m(0)c² {aby przy c−>∞ było poprawnie to ←}

T=m(v²)c²−m(0)c² {relatyw energia kinetyczna}

związki termodynamiczne:

pV=nRT {dla gazu doskonałego R=8,31J/mol K; ↓ }

(p+a/V²)(V−b)=nRT {n moli; T−emp absolutna }

{↑ r.van der Waalsa} {zgodnie z I i II ZasTerm: ↓↓↓}

dU=(∂U/∂p)_Vdp+(∂U/∂V)_pdV lub

dU=(∂U/∂p)_Tdp+(∂U/∂T)_pdT lub

dU=(∂U/∂V)_TdV+(∂U/∂T)_VdT

δA=dU=−pdV {dla kwazistatycznych}

dU=δQ−pdV {po uwzgl I ZT}{nowy funkcje ↓↓↓ }

entalpia: H=U+pV

energia swobodna: F=U−TS

entalpia swobodna: G=H−TS

dH=Du+pdV+Vdp=δQ+Vdp {różniczki nowych funkcji}

dF=dU−TdS−SdT=δQ−pdV−TdS−SdT

z II ZT dla kwazistatycznych mamy δQ=TdS więc

dF=−pdV−SdT

dG=Vdp−SdT {podobnie ←}{zestawiając ↓↓↓↓}

dU=TdS−pdV=(∂U/∂S)_VdS+(∂U/∂V)_SdV

dF=−SdT−pdV=(∂F/∂T)_VdT+(∂F/∂V)_TdV

dH=TdS+Vdp=(∂H/∂S)_pdS+(∂H/∂p)_Sdp

dG=−SdT+Vdp=(∂G/∂T)_pdT+(∂G/∂p)_Tdp

(∂U/∂S)=T ; (∂U/∂V)=−p {z powyż wynika bezp ↓↓↓↓}

(∂F/∂T)=−S ; (∂F/∂V)=−p

(∂H/∂S)=T ; (∂H/∂p)=V

(∂G/∂T)=−S ; (∂G/∂p)=V {inne zw. uwzgl 2−gie poch ↓}

∂²U/(∂V|_S ∂S|_V)= ∂²U/(∂S|_V ∂V|_S) => (∂T/∂V)_S=−(∂p/∂S)_V

∂²F/(∂V|_T ∂T|_V)= ∂²F/(∂T|_V ∂V|_T) => (∂S/∂V)_T=(∂p/∂T)_V

∂²H/(∂p|_S ∂S|_p)= ∂²H/(∂Sp_V ∂p|_S) => (∂T/∂p)_S=−(∂V/∂S)_p

∂²G/(∂p|_T ∂T|_p)= ∂²G/(∂T|_p ∂p|_T) => (∂S/∂p)_T=−(∂V/∂T)_p

C_p=(δQ/dT)_p {pojemność cieplna przy st. ciśnieniu}

C_V=(δQ/dT)_V {pojemność cieplna przy st. objetości}

δQ=dU+pdV=(∂U/∂T)_VdT+((∂U/dV)_T+p)dV {z I ZT ←}

C_V=(δQ/dT)_V=(∂U/∂T)_V {stąd ←}

C_P=(∂U/∂T)_V+((∂U/∂V)_T+p)(∂V/∂T)_p=C_V+((∂U/∂V)_T+p)(∂V/∂T)_p {oraz ←}

C_p−C_V=((∂U/∂V)_T+p)(∂V/∂T)_p {zatem ←}

przekształcimy (∂U/∂V)_T mamy bowiem (∂S/∂V)_T=(∂p/∂T)_V oraz dU=TdS−pdV więc:

(∂U/∂T)_VdT+(∂U/∂V)_VdV=T[(∂S/∂T)_VdT+(∂S/∂V)_TdV]−pdV

(∂U/∂V)_T=T(∂S/∂V)_T−p=T(∂p/∂T)_V−p {stąd ←}

C_p−C_V=T(∂p/∂T)_V(∂V/∂T)_p {a zatem ←}

(∂ p/∂ T)_V=nR/V ; (∂ V/∂ T)_p=nR/p {dla gazu dosk. ←}

C_p−C_V=nR a zatem dla gazu dosk. ←

jednocz dla gazu dosk (∂U/∂V)_T=0 en. wew nie zal od obj.