WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
Ćwiczenia z przedmiotu
MODELOWANIE MATEMATYCZNE
PRACA DOMOWA NR 1
Prowadzący: mgr inż. Michał Kapałka
Wykonała Grupa: I8Y3S1
Data wykonania ćwiczenia: 20.04.2010
TREŚĆ ZADANIA
Na danym polu znajdują się "nasze” jednostki oraz wrogie. Należy tak wystrzelić rakiety aby zniszczyć jak najwięcej wrogich jednostek oraz jak najmniej naszych.
ROZWIĄZANIE
Cechy:
L − wymiar pola
Lk − liczba naszych jednostek
JW − liczba wrogich jednostek
N′ − zbior numerow naszych jednostek
W′ − zbior numerow wrogich jednostek
RN − liczba rakiet jakie mozemy uzyc
R′ − zbior numerow naszych rakiet
XNi − polozenie x i − tej naszej jednostki i ∈ N′
YNi − polozenie y i − tej naszej jednostki i ∈ N′
XWi − polozenie x i − tej wrogiej jednostki i ∈ W′
YWi − polozenie y i − tej wrogiej jednostki i ∈ W′
VN − zbior numerow VIP naszych jednostek
VW − zbior numerow VIP wrogich jednostek
ZmaxN − maxymalne dopuszczalne zniszczenie naszych jednostek VIP (w sztukach)
ZminW − minimalne dopuszczalne zniszczenie wrogich jednostek VIP (w sztukach)
SmaxN − maksymalne dopuszczalne straty wlasne (procentowo)
Rxi − polozenie x i − tej rakiety , i ∈ R′
Ryi − polozenie y i − tej rakiety , i ∈ R′
Rwi − wystrzelenie i − tej rakiety , i ∈ R′
Rpi − zasieg zniszczenia i − tej rakiety , i ∈ R′
QNi − rozmiar i − tej naszej jednostki , i ∈ N′
Qwi − rozmiar i − tej wrogiej jednostki , i ∈ W′
F − liczba zniszczonych wrogich jednostek
X = { < L, ℝ+ > , < JN,ℕ > ,<JW,ℕ > , <N′, 2ℕ > , < W′, 2ℕ > , < RN,ℕ>, <R′, 2ℕ > ,
{<XNi,ℝo+>} i ∈ N′, {<YNi,ℝo+>} i ∈ N′, {<XWi,ℝo+>}i ∈ W′ , {<YWi,ℝo+>} i ∈ W′ , <VN, 2ℕ>, < VW , 2ℕ>, <ZmaxN ,ℕ> , <ZminN,ℕ>,<SmaxN, ℝo+> , { < Rxi, Ro+ > }i ∈ R′, { < Ryi, ℝo+ > }i ∈ R′, {<Rwi , {0,1}>}i ∈ R′,
{<Rpi,ℝ+>} i ∈ R′, { < QN,i ℕ > } i ∈ N′, { < Qwi, ℕ > } i ∈ W′, < F, ℕ > }
a = < L, JN, JW, N′, W′, RN, R′, {XNi}i ∈ N′, {YNi} i ∈ N′, {XWi}i ∈ W′, {YWi}i ∈ W′, VN,
< VW, ZmaxN, ZminW, SmaxN, {Rpi }i ∈ R′, {QNi} i ∈ N′, {Qwi}i ∈ W′>
x = <{Rxi}i ∈ R′, {Ryi}i ∈ R′, {Rwi }i ∈ R′ >
w = < F>
R = { < p1, Y1, R1 > , < p2, Y2, R2 > , < p3, Y3, R3 > , < p4, Y4, R4 > , < p5, Y5, R5 > ,
<p6, Y6, R6 > , < p7, Y7, R7 > , < p8, Y8, R8 > , < p9, Y9, R9 > , < p10, Y10, R10 > ,
<p11, Y11, R11 > , < p12, Y12, R12 > , < p13, Y13, R13 > , < p14, Y14, R14 > ,
<p15, Y15, R15 > , < p16, Y16, R16 > , < p17, Y17, R17 > , < p18, Y18, R18>}
Relacje:
p1 − zabitych jednostek przeciwnika
Y1 = < F, W′, R′, {XWi}i ∈ W′,{YWi} i ∈ W′, {Rxi}i ∈ R′, {Ryi}i ∈ R′, {Rpi} i ∈ R′ , {Rwi}i ∈ R′, {Qwi} i ∈ W′>
R1 = { < x1, x2, x3, {x4i}i ∈ x2, {x5i}i ∈ x2, {x6i}i ∈ x3, {x7i}i ∈ x3, {x8i}i ∈ x3, {x9i}i ∈ x3, {x10i}i ∈ x2 > ∈ N × 2ℕ × 2ℕ × ℝo+2 * |x2| + 2 * |x3| × ℝ+|x3| × {0, 1}|x3| × ℕ|x3|:
$$x_{1} = \ \sum_{i \in x_{2}}^{}{\min\left( 1,\sum_{j \in x_{3}}^{}\left\lfloor x_{9}^{j}*max\left( 0,\frac{\sqrt{\left( x_{4}^{i} - x_{6}^{j} \right)^{2} + \left( x_{5}^{i} - x_{7}^{j} \right)^{2}}}{x_{8}^{j}} \right) \right\rfloor \right)*}x_{10}^{i}$$
}
p2 − poprawna liczba numerow rakiet
Y2 = < RN, R′>
R2 = { < x1, x2 > ∈ N × 2ℕ : x1 = |x2| }
p3 − poprawna liczba numerow VIP naszych jednostek
Y3 = < JN, VN>
R3 = { < x1, x2 > ∈ N × 2ℕ : x1 ≥ |x2| }
p4 − poprawna liczba numerow VIP wrogich jednostek
Y4 = < JW, VW>
R4 = { < x1, x2 > ∈ N × 2ℕ : x1 ≥ |x2| }
p5 − poprawna liczba numerow naszych jednostek
Y5 = < JN, N′>
R5 = { < x1, x2 > ∈ N × 2ℕ : x1 = |x2| }
p6 − poprawna liczba numerow wrogich jednostek
Y6 = < JW, W′>
R6 = { < x1, x2 > ∈ N × 2ℕ : x1 = |x2| }
p7 − numery VIP naszych jednostek podzbiorem numerow naszych jednostek
Y7 = < VN, N′>
R7 = { <x1,x2> ∈2ℕ × 2ℕ:x1⊆x2}
p8 − numery VIP wrogich jednostek podzbiorem numerow wrogich jednostek
Y8 = < VW, W′>
R8 = { < x1, x2 > ∈ 2ℕ × 2ℕ : x1 ⊆ x2}
p9 − ograniczenie strat naszych jednostek VIP
Y9 = < ZmaxN, VN, R′, {XNi}i ∈ VN,{YNi} i ∈ VN, {Rxi}i ∈ R′, {Ryi}i ∈ R′, {Rpi} i ∈ R′ , {Rwi}i ∈ R′, {QNi} i ∈ VN>
R9 = { < x1, x2, x3, {x4i}i ∈ x2, {x5i}i ∈ x2, {x6i}i ∈ x3, {x7i}i ∈ x3, {x8i}i ∈ x3, {x9i}i ∈ x3, {x10i}i ∈ x2 > ∈ N × 2ℕ × 2ℕ × ℝo+2 * |x2| + 2 * |x3| × ℝ+|x3| × {0, 1}|x3| × ℕ|x3|:
$$x_{1} \geq \ \sum_{i \in x_{2}}^{}{\min\left( 1,\left\lfloor x_{9}^{j}*max\left( 0,\frac{\sqrt{\left( x_{4}^{i} - x_{6}^{j} \right)^{2} + \left( x_{5}^{i} - x_{7}^{j} \right)^{2}}}{x_{8}^{j}} \right) \right\rfloor \right)*}x_{10}^{i}$$
}
p10 − celowe zabicie pewnych liczby jednostek VIP przeciwnika
Y10 = < ZminW, VW, R′, {XWi}i ∈ VW,{YWi} i ∈ VW, {Rxi}i ∈ R′,{Ryi}i ∈ R′, {Rpi} i ∈ R′ , {Rwi}i ∈ R′, {Qwi} i ∈ VW>
R10 = { < x1, x2, x3, {x4i}i ∈ x2, {x5i}i ∈ x2, {x6i}i ∈ x3, {x7i}i ∈ x3, {x8i}i ∈ x3, {x9i}i ∈ x3, {x10i}i ∈ x2 > ∈ N × 2ℕ × 2ℕ × ℝo+2 * |x2| + 2 * |x3| × ℝ+|x3| × {0, 1}|x3| × ℕ|x3|:
$$x_{1} \leq \ \sum_{i \in x_{2}}^{}{\min\left( 1,\sum_{j \in x_{3}}^{}\left\lfloor x_{9}^{j}*max\left( 0,\frac{\sqrt{\left( x_{4}^{i} - x_{6}^{j} \right)^{2} + \left( x_{5}^{i} - x_{7}^{j} \right)^{2}}}{x_{8}^{j}} \right) \right\rfloor \right)*}x_{10}^{i}$$
}
p11 − ograniczenie strat wlasnych
Y11 = < SmaxN, N′, R′, {XNi}i ∈ N′,{YNi} i ∈ N′, {Rxi}i ∈ R′, {Ryi}i ∈ R′, {Rpi} i ∈ R′ , {Rwi}i ∈ R′, {Qwi} i ∈ N′>
R11 = { < x1, x2, x3, {x4i}i ∈ x2, {x5i}i ∈ x2, {x6i}i ∈ x3, {x7i}i ∈ x3, {x8i}i ∈ x3, {x9i}i ∈ x3, {x10i}i ∈ x2 > ∈ ℝo+ × 2ℕ × 2ℕ × ℝo+2 * |x2| + 2 * |x3| × ℝ+|x3| × {0, 1}|x3| × ℕ|x3|:
$${\sum_{i \in x_{2}}^{}x_{10}^{i}*x}_{1} \geq \ \sum_{i \in x_{2}}^{}{\min\left( 1,\sum_{j \in x_{3}}^{}\left\lfloor x_{9}^{j}*max\left( 0,\frac{\sqrt{\left( x_{4}^{i} - x_{6}^{j} \right)^{2} + \left( x_{5}^{i} - x_{7}^{j} \right)^{2}}}{x_{8}^{j}} \right) \right\rfloor \right)*x_{10}^{i}}$$
}
p12 − wspolrzedna x kazdej naszej jednostki jest niewieksza niz rozmiar planszy
Y12 = < N′, {XNi} i ∈ N′, L>
R12 = { < x1, {x2i} i ∈ x1, x3 > ∈ 2ℕ × ℝo+|x1| + 1 : ∀i ∈ x1x2i ≤ x3}
p13 − wspolrzedna x kazdej wrogiej jednostki jest niewieksza niz rozmiar planszy
Y13 = < W′, {XWi} i ∈ W′, L>
R13 = { < x1, {x2i} i ∈ x1, x3 > ∈ 2ℕ × ℝo+|x1| + 1 : ∀i ∈ x1x2i ≤ x3}
p14 − wspolrzedna x kazdej rakieta jest niewieksza niz rozmiar planszy
Y14 = < R′, {Rxi} i ∈ R′, L>
R14 = { < x1, {x2i} i ∈ x1, x3 > ∈ 2ℕ × ℝo+|x1| + 1 : ∀i ∈ x1x2i ≤ x3}
p15 − wspolrzedna y kazdej naszej jednostki jest niewieksza niz rozmiar planszy
Y15 = < N′, {YNi} i ∈ N′, L>
R15 = { < x1, {x2i} i ∈ x1, x3 > ∈ 2ℕ × ℝo+|x1| + 1 : ∀i ∈ x1x2i ≤ x3}
p16 − wspolrzedna y kazdej wrogiej jednostki jest niewieksza niz rozmiar planszy
Y16 = < W′, {YWi} i ∈ W′, L>
R16 = { < x1, {x2i} i ∈ x1, x3 > ∈ 2ℕ × ℝo+|x1| + 1 : ∀i ∈ x1x2i ≤ x3}
p17 − wspolrzedna y kazdej rakieta jest niewieksza niz rozmiar planszy
Y17 = < R′, {Ryi} i ∈ R′, L>
R17 = { < x1, {x2i} i ∈ x1, x3 > ∈ 2ℕ × ℝo+|x1| + 1 : ∀i ∈ x1x2i ≤ x3}
p18 − SmaxN jest wartoscia procentowa
Y18 = < SmaxN>
R18 = { < x1 > ∈ ℝo+ : x1 ≤ 1 }
$$\mathbf{A} = \begin{Bmatrix}
< L,\ J_{N},\ J_{W},\ N^{'},\ W^{'},\ R_{N},\ R^{'},\ \left\{ X_{N}^{i} \right\}_{i \in \ N^{'}},\ \left\{ Y_{N}^{i} \right\}_{\ i \in \ N^{'}},\ \{{X_{W}^{i}\}}_{i \in \ W^{'}},\ \{{Y_{W}^{i}\}}_{i \in \ W^{'}},\ V_{N},\text{\ V}_{W},\ Z_{\max N},Z_{\min W},\ S_{\max N}, \\
\ \left\{ R_{p}^{i}\ \right\}_{i \in \ R^{'}},\ {{\{ Q}_{N}^{i}\}\ }_{i \in \ N^{'}}{,\ {\{ Q}_{w}^{i}\}}_{i \in \ W^{'}} > \ \in \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{N}^{2} \times {2^{\mathbb{N}}}^{2}\mathbb{\times N \times}2^{\mathbb{N}} \times {\mathbb{R}_{o}^{+}}^{4} \times {2^{\mathbb{N}}}^{2} \times \mathbb{N}^{2} \times \mathbb{R}^{+} \times \mathbb{N}^{2}: \\
R_{N} = \left| R^{'} \right| \land J_{N} \geq \left| V_{N} \right| \land J_{W} \geq \left| \text{\ V}_{W} \right| \land \ J_{N} = \left| N^{'} \right| \land \ J_{W} = \left| W \right| \land V_{N} \subseteq N^{'} \land \text{\ V}_{W}, \subseteq W^{'} \land \\
\land \forall_{i \in \ N^{'}}X_{N}^{i} \leq L \land \forall_{i \in \ W^{'}}X_{W}^{i} \leq L \land \forall_{i \in \ N^{'}}Y_{N}^{i} \leq L \land \forall_{i \in \ W^{'}}Y_{W}^{i} \leq L \land S_{\max N} \leq 1\ \\
\end{Bmatrix}$$
Ω(a) = { < {Rxi}i ∈ R′, {Ryi}i ∈ R′, {Rwi }i ∈ R′ > ∈ Ro+2 * R′ × {0, 1}2 * R′:
$$Z_{\max N} \geq \ \sum_{i \in V_{N}}^{}{\min\left( 1,\left\lfloor R_{w}^{j}*max\left( 0,\frac{\sqrt{\left( X_{N}^{i} - R_{X}^{j} \right)^{2} + \left( Y_{N}^{i} - R_{Y}^{j} \right)^{2}}}{R_{p}^{j}} \right) \right\rfloor \right)*}Q_{N}^{i}\ \land \ \ \ \ \ Z_{\min W} \leq \ \sum_{i \in V_{W}}^{}{\min\left( 1,\sum_{j \in R^{'}}^{}\left\lfloor R_{w}^{i}*max\left( 0,\frac{\sqrt{\left( X_{W}^{i} - Y_{W}^{i} \right)^{2} + \left( R_{x}^{i} - R_{y}^{i} \right)^{2}}}{R_{p}^{i}} \right) \right\rfloor \right)*}Q_{w}^{i} \land \ \sum_{i \in x_{2}}^{}Q_{w}^{i}*S_{\max N} \geq \ \sum_{i \in N^{'}}^{}{\min\left( 1,\sum_{j \in R^{'}}^{}\left\lfloor R_{w}^{i}*max\left( 0,\frac{\sqrt{\left( X_{N}^{i} - R_{x}^{i} \right)^{2} + \left( Y_{N}^{i} - R_{y}^{i} \right)^{2}}}{R_{p}^{i}} \right) \right\rfloor \right)*Q_{w}^{i}} \land \ \forall_{i \in \ R^{'}}R_{x}^{i} \leq L \land \forall_{i \in \ R^{'}}R_{y}^{i} \leq L\}$$
$$\mathbf{W}\left( \mathbf{a,x} \right) = \{ F \in \mathbb{\ N:\ }F = \ \sum_{i \in W^{'}}^{}{\min\left( 1,\sum_{j \in R^{'}}^{}\left\lfloor R_{w}^{i}*max\left( 0,\frac{\sqrt{\left( X_{W}^{i} - R_{x}^{i} \right)^{2} + \left( Y_{W}^{i} - R_{y}^{i} \right)^{2}}}{R_{p}^{i}} \right) \right\rfloor \right)*}Q_{w}^{i}\}$$
$$\mathbf{E}\left( \mathbf{F}^{\mathbf{*}} \right) = \left\{ \begin{matrix}
1\ \ gdy\ F^{*} = \ \operatorname{}{F(\left\{ R_{x}^{i} \right\}_{i \in \ R^{'}},\ \left\{ R_{y}^{i} \right\}_{i \in \ R^{'}},\ \left\{ R_{w}^{i}\ \right\}_{i \in \ R^{'}})} \\
0\ \ w\ p.p. \\
\end{matrix} \right.\ $$
Gdzie $F\left( \left\{ R_{x}^{i} \right\}_{i \in \ R^{'}},\ \left\{ R_{y}^{i} \right\}_{i \in \ R^{'}},\ \left\{ R_{w}^{i}\ \right\}_{i \in \ R^{'}} \right) = \sum_{i \in W^{'}}^{}{\min\left( 1,\sum_{j \in R^{'}}^{}\left\lfloor R_{w}^{i}*max\left( 0,\frac{\sqrt{\left( X_{W}^{i} - R_{x}^{i} \right)^{2} + \left( Y_{W}^{i} - R_{y}^{i} \right)^{2}}}{R_{p}^{i}} \right) \right\rfloor \right)*}Q_{w}^{i}.$