Wytrzymałość materiałów - dział mechaniki stosowanej zajmujący się zachowaniem ciał

stałych pod wpływem różnego typu obciążeń. Celem analizy tego zachowania jest wyznaczenie odpowiedzi ciała na działające obciążenie tzn. wyznaczenie naprężeń, odkształceń i przemieszczeń wszystkich punktów ciała.

Statyka jest to dział mechaniki zajmujący się badaniem równowagi ciał materialnych, które są pod działaniem sił.

Siła jest to wywierane na ciało działanie, które wywołuje takie skutki, jak:

wprawianie go w ruch (jeżeli było ono w spoczynku),
zatrzymanie (jeżeli było w ruchu),
zmiana kierunku ruchu, prędkości,
odkształcenie ciała (rozciąganie, zginanie, skręcanie itp.)

F= m * a

1 N = 1 kg ∙ m/s²

Siła jest wielkością wektorową, ma takie cechy jak:

wartość bezwzględna,
kierunek działania,
zwrot i punkt zaczepienia.

Układy sił- jeżeli na ciało działa kilka sił to jest ono pod działaniem układu sił. Układy mogą być płaskie lub przestrzenne.

Układ płaski charakteryzuje się tym, że wszystkie siły tworzące ten układ leżą w jednej płaszczyźnie.

Układy płaskie dzielą się:

zbieżne (linie działania wszystkich sił przecinają się w jednym punkcie),
równoległe (linie działania sił są równoległe),
dowolne (linie nie przecinają się i nie są równolegle).

SKŁADANIE I ROZKŁADANIE SIŁ:

Jeżeli na ciało działa dowolna liczba sił, które możemy zastąpić jedną siła o działaniu równorzędnym, to siłę tę nazywamy wypadkową, a postępowanie takie nazywamy składaniem sił.

Jeżeli na ciało działają wzdłuż jednej prostej siły F1 i F2 o tym samym zwrocie to możemy je zastąpić jedną siłą wypadkową R równą sumie wartości tych sił R=F1+F2. Jeżeli siły będą miały zwroty przeciwne to wypadkowa R=F1-F2 będzie miała zwrot siły większej.
Jeżeli na ciało w punkcie O działają dwie siły zbieżne F1 i F2, to takie siły możemy zastąpić jedną siłą wypadkową R, która będzie przekątną równoległoboku zbudowanego z sił F1 i F2.
Większą liczbę sił F1, F2, F3 działających na ciało w punkcie O można zastąpić jedna siłą wypadkową . W tym celu znajdujemy kolejno wypadkowe dla dwóch sił lub budujemy wielobok sił. Wynik nie zależy od kolejności składania sił.
Jeżeli na ciało działają dwie siły równoległe F1 i F2 o tych samych zwrotach to ich wypadkowa R=F1+F2 jest równoległa do tych sił, a odległości a i b są odwrotnie proporcjonalne do wielkości tych sił.

Odwrotnym działaniem do składnia sił jest rozkładnie sił na dwa żądane kierunki. Siłę R działająca na ciało w punkcie O trzeba rozłożyć na dwa kierunki 1 i 2, i zbudować równoległobok.

MOMENT SIŁY WZGLĘDEM PUNKTU:

Momentem siły F względem dowolnego punktu O nazywamy iloczyn wartości siły F przez jej ramię r, czyli:

M=F * r

M= 1Nm (niutonometr)

Punkt O, względem którego obliczamy moment , nazywamy biegunem , a odległość siły od punktu O, czyli odcinek OS=r prostopadły do wektora siły F lub jej przedłużenia (kierunku), nazywamy ramieniem siły.

Moment siły względem punktu jest wektorem mającym kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez linie działania siły i biegun, natomiast zwrot zgodny z zasadą śruby prawoskrętnej.

Moment siły względem punktu (umownie) uważamy:

za dodatni, gdy siła dąży do obrócenia swego ramienia r dookoła bieguna O w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (w lewo),
za ujemny, gdy obrót będzie zgodny z ruchem wskazówek zegara.

PARA SIŁ:

Dwie siły równej wartości, równoległe ale o przeciwnych zwrotach nazywamy parą sił. Odległość r między liniami działania obu sił nazywamy ramieniem pary.

Jeżeli obierzemy dowolny punkt O to moment pary sił względem tego punktu będzie wynosił:

M= F*r

Moment pary sił umownie uważamy:

za dodatni, jeżeli para dąży do obrócenia swego ramienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara,
za ujemny, gdy obrót ramienia jest zgodny z ruchem wskazówek zegara.

Moment pary sił jest wektorem o wartości F*a i kierunku prostopadłym do płaszczyzny utworzonej przez tę parę, a zwrocie zgodnym z regułą śruby prawoskrętnej.

Wypadkowa każdej pary sił równa się zeru, ale nie oznacza to, że układ jest w równowadze. Moment pary sił dąży do obrócenia ciała, do którego ta para została przyłożona.

Każda para siła ma następujące własności:

parę sił możemy zastąpić momentem i odwrotnie, każdy moment możemy zastąpić parą sił. Wartości sił i ramienia można przyjąć dowolnie, musi tylko zachodzić zależność M=F*r,
parę sił możemy przenosić w dowolne miejsce na płaszczyźnie a skutek działania pary sił się nie zmieni,
działanie pary sił nie zmieni się gdy będziemy proporcjonalnie zwiększać jej ramię lub odwrotnie,
do zrównoważenia pary sił potrzebna jest druga para sił o takim samym momencie ale przeciwnym znaku.

WARUNKI RÓWNOWAGI SIŁ ZBIEŻNYCH

Jeżeli na ciało w punkcie O będą działać dwie siły równej wielkości mające wspólną linię działania, lecz zwroty przeciwne, to ciało zachowa się tak jakby nie działały na nie żadne siły, czyli układ dwóch sił jest w równowadze. Wypadkowa tych sił R=F₁-F₂=0.

Równowaga trzech sił zbieżnych jest możliwa tylko wówczas, gdy wypadkowa trzech sił równa się zeru.

MOMENT WYPADKOWY

Jeżeli działa dowolny układ sił F₁, F₂, F₃ i siły te położone są w odległościach r₁, r₂, r₃ względem dowolnego punktu O to dla każdej z tych sił możemy obliczyć moment:

M₁=F₁*r₁

M₂=F₂*r₂

M₃=F₃*r₃

Momenty M₁ i M₃ starają się obracać ciało dookoła punktu O w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, czyli są to momenty dodatnie, zaś moment M₂ obraca ciało zgodnie z ruchem wskazówek zegara (moment ujemny).

Moment wypadkowy M będzie się równał sumie poszczególnych momentów względem punku O:

M=M₁+(-M₂)+M₃

Jeśli moment wypadkowy M będzie równał się zeru to ciało zachowa się tak, jakby nie działały na nie żadne siły, tj. pozostanie w równowadze.

WARUNKI RÓWNOWAGI PAR SIŁ

Trzy pary sił leżące w jednej płaszczyźnie, których momenty wynoszą:

M₁=F₁*r₁

M₂=F₂*r₂

M₃=-F₃*r₃

możemy zastąpić jedną wypadkową par sił F*x, której moment będzie się równał sumie momentów wszystkich par składowych:

M_x=M₁+M₂+M₃

Jeżeli algebraiczna suma wszystkich par sil działających na ciało M_x=0, to taki układ par sił jest w równowadze.

RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ DOWOLNYCH

Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli sumy rzutów wszystkich sił na osie układu są równe zeru i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu O płaszczyzny działania sił jest równy zeru.

Jeżeli moment układu sił względem dwóch punktów A i B jest równy zeru oraz rzut sił na oś nieprostopadłą do odcinka AB łączącego te punkty jest równy zeru, to płaski układ sił jest w równowadze

Dla równowagi płaskiego układu sił sumy momentów wszystkich sił względem trzech punktów nie leżących na jednej prostej muszą być równe zeru


Wskazówki metodyczne przy wyznaczaniu reakcji więzów ciała sztywnego poddanego działaniu dowolnego płaskiego układu sił:

wydzielić ciało sztywne, którego równowagę rozpatrujemy,
narysować siły czynne i reakcje więzów,
sprawdzić, czy układ sił jest statycznie wyznaczalny,
w metodzie analitycznej napisać równania równowagi i rozwiązać je ze względu na niewiadome,
w metodzie geometrycznej narysować zamknięty wielobok sił, utworzony ze wszystkich sił rozpatrywanego układu i wyznaczyć poszukiwane niewiadome.

Szczególnym przypadkiem dowolnego płaskiego układu sił jest płaski układ sił równoległych. Zatem płaski równoległy układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli spełnione są dwa równania równowagi

RODZAJE OBCIĄŻEŃ ODKSZTAŁCEŃ I NAPRĘŻEŃ

PODZIAŁ OBCIAŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

W zależności od sposobu działania sił zewnętrznych na ciało (konstrukcję) rozróżnia się obciążenia:

statyczne (występują gdy układ sił działający na ciało nie zmienia w czasie wartości kierunku i punktu przyłożenia względem danego ciała),
dynamiczne (układ sił działający na ciało zmienia się w czasie):
- tętniące/ jednostronnie zmienne- obciążenie zmienia się okresowo, obie jego wartości graniczne (maksymalna i minimalna) są tego samego znaku,
- wahające/ obustronnie zmienne- graniczne wartości obciążenia są różnego znaku.

Wielokrotne działanie na ciało obciążeń jednostronnie lub obustronnie zmiennych wywołuje zjawisko tzw. zmęczenia materiału.

Odkształcenia mogą mieć charakter:

nietrwały (sprężysty)- znikają po odjęciu obciążeń działających na ciało,
trwały (plastyczny)- pozostają po odjęciu obciążeń.

Odkształcenia najczęściej powstają pod wpływem sił powodujących zjawiska:

rozciągania ( jeśli dwie równe siły zewnętrzne o przeciwnych zwrotach działają wzdłuż osi pręta, to powodują jego odkształcenie, polegające na wydłużeniu pręta z jednoczesnym zmniejszeniem jego wymiarów poprzecznych),
ściskania (jeżeli dwie równe siły zewnętrzne działające wzdłuż osi pręta będą zwrócone do siebie, to powodują ściskanie pręta objawiające się zmniejszeniem jego długości i zwiększeniem wymiarów poprzecznych),
ścinania (gdy dwie siły zewnętrzne tworzące parę sił o bardzo małym ramieniu działają prostopadle do osi pręta, to starają się one przesunąć jedną część pręta względem drugiej, powodując jego przecięcie),
zginania (jeżeli do końców pręta przyłożymy dwie pary sił o momentach równych ale przeciwnie skierowanych lub na pręt podparty na dwóch podporach albo utwierdzony w jednym końcu działają siły prostopadłe do osi pręta, to następuje odkształcenie zwane zginaniem),
skręcania (jeżeli do końców pręta przyłożymy dwie pary sił leżące w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta o momentach przeciwnie skierowanych albo gdy jeden koniec pręta jest utwierdzony, a na drugi działa para sił leżąca w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta następuje skręcanie),
wyboczenia (może wystąpić w przypadku ściskania prętów długich o małym przekroju poprzecznym).

RODZAJE NAPRĘŻEŃ

Rozróżniamy dwa rodzaje prostych stanów naprężeń:

naprężenia normalne- stosunek siły normalnej N do pola przekroju pręta A:

σ=N/A

naprężnie styczne- stosunek siły stycznej T do pola przekroju pręta A:

τ=T/A

1Pa=1N/m²

W zależności od kąta nachylenia przekroju otrzymuje się różne wartości siły N i T, a zetem i różne wartości naprężeń normalnych i stycznych. W przypadku gdy przekrój poprowadzony jest prostopadle do kierunku działania sił zewnętrznych, siła normalna N równa się wypadkowej sił wewnętrznych R, a zatem i sile F, która je równoważy. Siła styczna T=0. Wówczas naprężenia normalne wyraża się wzorem:

σ=F/A

Naprężenia normalne σ, jakie powstaną w materiale pręta pod wpływem obciążenia go siłą zewnętrzną F, zarówno przy rozciąganiu, jak i ściskaniu, będą się równały sile rozciągającej (ściskającej) F podzielonej przez przekrój A prostopadły do osi kierunku działania siły.

ROZCIĄGANIE ŚCISKANIE

Całkowite (bezwzględne) wydłużenie (skrócenie):

∆l=l₁-l₀

Wydłużenie (skrócenie) jednostkowe ɛ jest to stosunek wydłużenia całkowitego ∆l do długości początkowej l₀:

ɛ=∆l/l₀=l₁-l₀/l₀

Prawo Hooke’a:

W przedziałach obciążeń, w których ciało jest sprężyste, bezwzględnie wydłużone ∆l jest wprost proporcjonalne do siły działającej F oraz do długości obciążonego elementu l₀, a odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju A elementu i współczynnika sprężystości wzdłużnej E.

∆l=F*l₀/E*A

E-współczynnik sprężystości wzdłużnej

A- pole przekroju

WSPÓŁCZYNNIK SPRĘŻYSTOŚCI WZDŁUŻNEJ E (moduł Younga)

Charakteryzuje teoretyczne naprężenie powstałe w materiale pręta.

σ=ɛ*E

PRÓBY STATYCZNE ROZCIĄGANIA I ŚCISKANIA

Zrywarka-maszyna wytrzymałościowa na której przeprowadzane są próby rozciągania/ściskania.

Na wykresie przedstawione są cztery charakterystyczne punkty H, E, M, U odpowiadające następującym obciążeniom:

F_h- siła obciążająca powodująca powstawanie proporcjonalnego do obciążenia wydłużenia próbki, po przekroczeniu której nie ma zastosowanie prawo Hooke’a,

F_e- siła odpowiadająca granicy plastyczności materiału, po przekroczeniu której próbka wykazuje trwałe wydłużenie (odkształcenie),

F_m- największa siła obciążenia uzyskana podczas próby,

F_u- siła obciążająca podczas zerwania próbki.

Stosunek trzech pierwszych sił do pierwotnego przekroju próbki A₀ nazywamy:

granicą proporcjonalności:

R_h=F_h/A₀

granicą plastyczności:

R_e=F_e/A₀

wytrzymałością na rozciąganie:

R_m=F_u/A₀

Naprężenie rozrywające (Pa):

R_u=F_u/A_u

A_u-zmniejszony przekrój próbki w miejscu powstania przewężenia przekroju zwanego szyjką

NAPRĘŻENIA DOPUSZCZALNE

W elementach konstrukcyjnych poddanych jakimkolwiek obciążeniom zawsze będą występowały naprężenia rzeczywiste.

Dla zapewnienia trwałości tych elementów obliczenia wytrzymałościowe muszą uwzględnić dwa podstawowe warunki:

naprężenia rzeczywiste nie mogą powodować niszczenia elementów (warunek właściwej wytrzymałości),
odkształcenia spowodowane występowaniem tych naprężeń powinny być małe i nie przekraczać sprężystości materiału (warunek właściwej sztywności materiału).

Naprężenia dopuszczalne- naprężenia, które występują w materiale, ale nie powodują niszczenia ani odkształceń przekraczających sprężystość materiału:

k_r- naprężenie dopuszczalne na rozciąganie,
k_c- naprężenie dopuszczalne na ściskanie,
k_a- naprężenie dopuszczalne na zginanie,
k_t- naprężenie dopuszczalne na ścinanie,
k_s- naprężenie dopuszczalne na skręcanie.

Liczbę określającą, ile razy naprężenia dopuszczalne mają być mniejsze od tych granicznych wielkości (granic wytrzymałości i plastyczności), nazywamy współczynnikiem bezpieczeństwa n.

k_r=granica wytrzymałości (R_m) lub plastyczności (R_e)/ współczynnik bezpieczeństwa (n)

Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie dla materiałów plastycznych:

k_r=R_e/n

Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie dla materiałów kruchych:

k_r=R_m/n

Wielkość współczynnika bezpieczeństwa zależy m.in.:

rodzaju obciążeń,
charakteru obciążeń,
rodzaju materiału,
kształtu elementu.

OBLICZENIA ELEMENTÓW KOSTRUKCYJNYCH

Pod wpływem działania sił na elementy konstrukcyjne w ich przekrojach powstają naprężenia rzeczywiste. Naprężenia te powinny być mniejsze lub co najwyżej równe naprężeniom dopuszczalnym .

Rozciąganie:

σ_r=F/A≤k_r

Ściskanie:

σ_c=F/A≤k_c

A=F/k_r

F=A*k_r

σ=ɛ*E≤k_r

ŚCINANIE

Czyste ścinanie- w rozpatrywanym przekroju występują jedynie naprężenia styczne, przy określonym obciążeniu elementu.

Ścinanie technologiczne- odkształcenie materiału wywołane dwiema siłami równymi i równoległymi o zwrotach przeciwnych, tworzącymi parę sił o bardzo małym ramieniu.

Siłę F nazywamy siłą ścinającą, a naprężenia styczne wywołane tą siłą- naprężeniami ścinającymi

Oprócz ścinania zachodzi zawsze dodatkowo zginanie, gdyż siły F leżą w pewnej odległości od siebie.

Ścinanie materiału nie nastąpi gdy siły będą leżały na jednaj prostej. Przykładem ścinania technologicznego może być połączenie nitowe, gdzie pod wpływem przesunięcia blach nit ulega ścinaniu.

OBLICZANIE ELEMENTÓW NA ŚCINANIE

τ=F/A≤k_t

τ- naprężenia ścinające w Pa,

F- siła zewnętrzna ścinająca w N,

A- powierzchnia przekroju w m²,

k_t- dopuszczalne naprężenie na ścinanie w Pa.

Najmniejszy bezpieczny przekrój elementu ścinanego:

A=F/k_t

Największa siła jaka może być przeniesiona przez dany przekrój:

F=A*k_t

ZGINANIE

WYZNACZANIE REAKCJI PODPÓR

Zginanie zachodzi wówczas gdy belka obciążona jest siłami zewnętrznymi skierowanymi prostopadle do osi belki. Siły te powodują występowanie w przekroju belki momentów zginających i jednocześnie tzw. sił tnących.

Belki mogą być obciążone siłami skupionymi lub obciążeniem ciągłym.

Siły skupione przyłożone są punktowo w różnych miejscach belki.

Obciążenie rozłożone równomiernie na znacznej długości belki nazywamy obciążeniem ciągłym.

Przy równomiernym rozkładzie obciążenia ciągłego Q na długości belki l można określić obciążenie q przypadające na jednostkę długości belki (obciążenie jednostkowe):

q=Q/l

Zginane belki ułożone są zazwyczaj na tzw. podporach, które ze względów konstrukcyjnych można podzielić na:

przegubowe,
przegubowo-przesuwane,
zamocowane sztywno.

Reakcja podpór- możliwość obliczania belek na zginanie, belki takie nazywamy statycznie wyznaczalne.

MOMENT ZGINAJĄCY I SIŁA TNĄCA

Momentem zginającym w dowolnym przekroju belki nazywamy sumę algebraiczną momentów wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie (lewej lub prawej) rozpatrywanego przekroju względem środka tego przekroju.

Siłą tnącą w dowolnym przekroju belki nazywamy algebraiczną sumę sił zewnętrznych działających prostopadle do osi belki po jednej stronie (lewej lub prawej) rozpatrywanego przekroju.

Założenia:

moment zginający uważa się za dodatni (=M_x), jeśli przy uchwyceniu belki w jej przekroju siła działająca na tę część będzie wyginała belkę wypukłością ku dołowi,
moment zginający jest ujemny gdy belka wygina się wypukłością ku górze,

W belkach obciążonych siłami prostopadłymi do ich osi momenty zginające pochodzące od sił zwróconych do góry uważa się za dodatnie, a od sił zwróconych do dołu za ujemne.

Siłę tnącą uważa się za dodatnią gdy w lewej części przekroju belki jest ona skierowana do góry względem danego przekroju, zaś dla prawej części w dół. Odwrotnie jest gdy sial tnąca jest ujemna, zwroty są przeciwne.

Zarówno moment zginający jak i siła tnąca zmieniają swoje wartości wzdłuż belki.

Miejsce gdzie moment zginający ma wartość największa nazywamy przekrojem niebezpiecznym.

Zależność między momentami zginającymi a siłami tnącymi w danym przekroju belki można określić następująco:

w przekroju belki gdzie moment zginający osiąga wartość graniczną (maks. lub min.), siła tnąca zmienia znak ( wykres sił tnących przecina oś),
jeżeli na belce istnieje przedział, w którym moment zginający ma wartość stała, to siła tnąca w tym przedziale jest równa zeru. Belka w tym przedziale ulega czystemu zginaniu.

ODKSZTAŁCENIA I NAPRĘŻENIA WYSTĘPUJĄCE PRZY ZGINANIU

Jeżeli belkę utwierdzoną w jednym końcu poddamy obciążeniu siła F to moment zginający spowoduje, że belka ta ulegnie odkształceniu zginającemu.

Warstwę która nie ulega wydłużeniu ani skróceniu przy zginaniu nazywamy warstwą obojętną, a płaszczyznę przechodzącą przez oś belki x-x, w której leży ta warstwa nazywamy płaszczyzną obojętną. Płaszczyzna ta przechodzi przez środek ciężkości przekroju belki.

Największe wydłużenie, skrócenie wystąpi w warstwach skrajnych belki najdalej położonych od warstwy obojętnej.

Wydłużenia/skrócenia spowodują wystąpienie w nich naprężeń normalnych σ pochodzących od sił rozciągających lub ściskających te warstwy.

Pomiędzy osią obojętną a warstwami skrajnymi naprężenia zmieniają się proporcjonalnie do odległości danej warstwy od osi obojętnej.

WYBOCZENIE

Jeżeli na pręt mający małe wymiar poprzeczne w stosunku do swojej długości będziemy działać siła F w kierunku poosiowym (ściskając pręt), to straci on sztywność i ulegnie poprzecznemu wygięciu. Na wyboczenie narażone są elementy o dużych długościach i stosunkowo małych wymiarach poprzecznych, które są poddawane działaniu ściskającemu.

F_kr=F_e=π*E*J/l_r

F_kr- siła krytyczna w N

E-współczynnik sprężystości wzdłużnej pręta (moduł Younga) w Pa,

J-najmniejszy moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta w m⁴

L_r- długość zredukowana pręta (obliczeniowa) zależna od sposobu jego zamocowania w m (cm).

WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA

Bardzo często elementy konstrukcyjne ulegają jednocześnie różnym odkształceniom.

Odkształcenie skręcające jest spowodowane przenoszeniem momentu skręcającego, odkształcanie zginające spowodowane jest np. naciągiem pasów lub naciskaniem zębów na koła zębate, lub ciężarem kół. W wałach tak obciążonych powstaną naprężenia styczne ( ścinające) pochodzące od momentu skręcającego oraz naprężenia normalne ( zginające ) spowodowane momentem zginającym. Oba te naprężenia zastępujemy tak zwanym naprężeniem zastępczym i porównujemy je z naprężeniem dopuszczalnym na rozciąganie.

TWARDOŚĆ MATERIAŁÓW

Istotną właściwością mechaniczną materiału jest jego twardość. Twardością nazywamy opór jaki stawia badany materiał, gdy jest on odkształcany wskutek wciskania w niego innego twardszego materiału. Istnieje wiele metod badania twardości materiałów z których powszechnie jest stosowana metoda Brinella. Pomiar twardości tą metodą polega na wtłaczaniu w badany materiał hartowanej kulki stalowej o średnicy D. Miarą twardości w tej metodzie jest stosunek siły F do powierzchni wcisku powstałego w materiale w wyniku wtłaczania:

HB=F/A_c

HB – twardość wg Brinella w daN/mm²

F- siła nacisku w daN

A_c- powierzchnia czaszy kulistej (wcisku w materiale) w mm².