Nr 10 z dnia 18 grudnia 2010 r. WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – Zadanie projektowe Przygotował: Wojciech Gizler

Obliczyć rozkład naprężeń normalnych w przekroju najbardziej wytężonym dla:
Belka o długości L = 8m jest poddana obciążeniu ciągłym q = 5 kN/m Przekrój poprzeczny belki jako ceownik ułożony jest pod kątem 30^o

Moment bezwładności względem osi OX oraz osi OY

Obliczanie momentów: MMAX , MX i MY

Równanie osi naprężeń
Obliczanie wartości naprężeń w punktach: A( 10 , –3.9)cm A( 0.1 , –0.039)m B(–10 , –3.9)cm B(–0.1 , –0.039)m C(–10 , 6.1)cm C(–0.1 , 0.061)m D( 10 , 6.1)cm D( 0.1 , 0.061)m

Nr 11 z dnia 19 grudnia 2010 r. WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – Zadanie projektowe Przygotował: Wojciech Gizler

Wyznaczyć maksymalna wartość działającej siły PX
długość L = 4m obciążenie ciągłe q = 8kN/m naprężenie dopuszczalne : RG=160MPa=16kN/cm^2 Przekrój cienkościenny 16cm x 12cm grubości g=1cm

Momenty bezwładności względem osi OX: Momenty bezwładności względem osi OY:

Zginanie ukośne (wzdłuż osi X i Y), więc mamy dwa momenty zginające: ujemną siłę MX od działa obciążenia ciągłego q MX = –W·L/2 =–8kN/m·4m ·2m= –32kN·2m= –64kNm=-6400kNcm dodatnia siła MY od działania siły P , MY = P·L = 4PkNm=400PkNcm Równanie osi naprężeń ma postać: [ kN/cm^2 ] Naprężenia w punktach najbardziej oddalonych , które spełnią warunek : A(8,-6) B(-8,-6) C(-8,6) D(8,6)
Odp. Maksymalne naprężenie rozciągające w punkcie B(-8,-6) nawet przy P=0kN wynosi 26,64kN/cm^2 i przekracza dopuszczalna wartość RG=16kN/cm^2 czyli same obciążenie ciągłe na tej belce powoduje przekroczenie dopuszczalnego naprężenia, więc konstrukcja zawali się nie zależnie od wartości siły P

Nr 12 z dnia 19 grudnia 2010 r. WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – prawo Hooke’a Przygotował: Wojciech Gizler

Płaski Stan Odkształceń (PSO) oraz Płaski Stan Naprężeń (PSN) stosuje się, gdy wszystkie składowe sił działają na jednej płaszczyźnie
PSO określają wielkości: εx , εy , γxy naprężenie główne: σ1,2 = oraz kierunek działania:
Prawo HOOKE’a Jeżeli na pręt o powierzchni A w przekroju α – α działającą siłę P rozłożymy na składowe wzajemnie prostopadłe : N – siła normalną oraz T – siła styczną, to otrzymamy: naprężenie normalne: σ = , naprężenie styczne: τ = siła ta działająca na pręt o długości początkowej L0 daje wydłużenie bezwzględne pręta o wartość ΔL przy jednoczesnym bezwzględnym skróceniu poprzecznym pręta z wartości d0 o wartość Δd wydłużenie względne: ε = , skrócenie poprzeczne: ε` = , które są wielkościami stałymi i charakterystycznymi powiązane współczynnikiem Poissona µ = ε `/ ε prawo Hooke’a ma postać: σ = E · ε ΔL = gdzie: współczynnik proporcjonalności E – to moduł sprężystości podłużnej zwany modułem Younga oraz G– moduł sprężystości poprzecznej G = E / 2(1-µ) Wartości E , G , µ - są charakterystyczne dla poszczególnych materiałów: (przykłady:) stal węglowa: E = 2,1·10^6kN/cm^2 , G = 8,1·10^3 kN/cm^2 , µ = 0,24÷0,28 [-] miedź: E = 1,1·10^6kN/cm^2 , G = 4,9·10^3 kN/cm^2 , µ = 0,32÷0,35 [-] STAN PRZESTRZENNY – uogólnione prawo Hooke’a, ( związki konstytutywne to: ) γxy= , εx = [σx–µ(σy+σz)] (dla σy = σz = 0 εx=) γxz= , εy = [σy–µ(σx+σz)] (dla σx = σz = 0 εy=) γyz= , εz = [σz–µ(σx+σy)] (dla σx = σz = 0 εz=) Łączą naprężenia i odkształcenia po przez charakterystyczne wielkości stałe E , G , µ ( związki odwrotne to: ) τxy = G·γxy , σx = εx ·E + µ(σy + σz) τxz = G·γxz , σy = εy ·E + µ(σx + σz) τyz = G·γyz , σz = εz ·E + µ(σx + σy)

Nr 13 z dnia 19 grudnia 2010 r. WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – Zadanie projektowe Przygotował: Wojciech Gizler

Zadanie projektowe: W płaskim stanie naprężeń w punkcie mamy wartości naprężeń i ich składowe εx = 4·10^-5 σx = 15 MPa Parametry dla materiału: σy = 12 MPa E = 200 GPa =200000 MPa - moduł Younga τxy = -6,062 MPa µ=1/3 - współczynnikiem Poissona Wyznaczyć pozostałe wielkości składowych dla płaskiego stanu odkształceń: εy , γxy

Wzory do obliczeń: 1.) γxy= , 2.) εy = [σy–µ(σx+σz)] 3.) G = , 4.) εx = [σx–µ(σy+σz)] z równania nr 3 obliczymy wartość modułu G: G = = 75 000MPa , którą wstawiamy do równania nr 1 i otrzymujemy: γxy= z równania nr 4 obliczymy wartość naprężeń σz (osi Z): εx = [σx–µ(σy+σz)] E · εx = σx–µ(σy+σz) E · εx – σx = –µ·σy–µ·σz E · εx –σx+µ·σy = –µ·σz σz = –(E · εx – σx+µ·σy)/µ = wstawiamy do równania nr 2 i otrzymujemy: εy = [σy–µ(σx+σz)] = [12–· (15+9)] = 2·10^-5

Odp. Wartości płaskiego stanu naprężeń to: εx = 4·10^-5 εy = 2·10^-5 γxy = 8·10^-5

Nr 14 z dnia 19 grudnia 2010 r. MECHANIKA BUDOWLI – LINIA WPŁYWU Przygotował: Wojciech Gizler

Rozpatrujemy zagadnienie związane z wpływem punktu przyłożenia pewnej skupionej siły jednostkowej P na reakcje działające na belce prostej. Zagadnienie rozpatrujemy szukając zależności funkcji RA=f(P) i RB=f(P) z bilansu momentów: /L równanie linii wpływu RA równanie linii wpływu RB
Rozpatrujemy linie wpływu siły tnącej Tz przy działaniu siły skupionej P, działającej w przekroju α – α na belce ze wspornikami. Wykonujemy bilans sił w dwóch przypadkach:
Przypadek nr 1 – gdy siła P jest po lewej stronie przekroju α – α to bilans prawej strony wynosi:	Przypadek nr 2 – gdy siła P jest po prawej stronie przekroju α – α to bilans lewej strony wynosi:
Rozpatrujemy linie wpływu momentu M przy działaniu siły skupionej P, działającej w przekroju α – α na belce ze wspornikami. Wykonujemy bilans sił w dwóch przypadkach:
Przypadek nr 1 – gdy siła P jest po lewej stronie przekroju α – α to bilans prawej strony wynosi:	Przypadek nr 2 – gdy siła P jest po prawej stronie przekroju α – α to bilans lewej strony wynosi:

UWAGA: W układach statycznych wyznaczalnych wszystkie wykresy są w przedziałach liniami prostymi

Rozpatrujemy linie wpływu siły tnącej Tz przy działaniu siły skupionej P, działającej w przekroju α – α na wsporniku. Wykonujemy bilans sił w dwóch przypadkach:
Przypadek nr 1 – gdy siła P jest po lewej stronie przekroju α – α to bilans prawej strony wynosi:	Przypadek nr 2 – gdy siła P jest po prawej stronie przekroju α – α to bilans lewej strony wynosi:
Rozpatrujemy linie wpływu momentu M przy działaniu siły skupionej P, działającej w przekroju α – α na wsporniku. Wykonujemy bilans sił w dwóch przypadkach:
Przypadek nr 1 – gdy siła P jest po lewej stronie przekroju α – α to bilans prawej strony wynosi:	Przypadek nr 2 – gdy siła P jest po prawej stronie przekroju α – α to bilans prawej strony wynosi:

µεγτσµξα (·)(–) ½ 1/3 ⅓