Prognozowanie i stymulacje - lab. 23.11.2003

WYKŁAD 3

Dr hab. profesor WSEI

Bartłomiej Beliczyński

http://acn.waw.op/barbel

WYGŁADZANIE WYKŁADNICZE

y_t* = ay_t-1 + (1 - a) y*_t-1 równanie rekursywne

rekurencja

y_t* - prognoza

a - parametr

y_t-1 - wartość zmiennej Y w chwili t-₁

Model powinien być modelem stabilnym

A ∈ (0,2) → warunek stabilności

ŚREDNIA WAŻONA

y_t* = w₁y_t-1 + w₂y_t-2+ w₃y_t-3 + . . . + w_ny_t-n

RÓWNANIE NA SUMĘ WAG

_n

Σ w₁=1

_i=1

Nie ma rekurencji

ŚREDNIA WAŻONA

y_t* = 0,3y_t-1 + 0,7y_t-2

realizacja wartości dodajemy do

w chwili t siebie kolumny 1 i 2

t	yt	yt-1	yt-2	0,3 ⋅yt-1	0,7 ⋅yt-2	y*t
0	2 ^y^0	- ^y-1	-^y-2	-	-	-
1	4 ^y^1	2 ^y^0	- ^y-1	- ^0,6	-	-
2	6 y2	4 ^y^1	2^y0	1,2	1,4	2,6
3	8 y3	6 ^y^2	4 ^y1	1,8	2,8	4,6
4	10 y4	8 ^y^3	6^y2	2,4	4,2	6,6

Prognoza w chwili t= 0,3 ⋅y_t-1 + 0,7 ⋅y_t-2

MODELE TENDENCJI ROZWOJOWEJ

Czy ma tendencje malejące czy rosnące ?

Jak szybko wzrasta ?

Zadajemy pytanie o model liniowy. Zakładamy, że ma stały przyrost. Trend liniowy.

y= a₀+a₁+ a₁²⋅ t²

y=a₀+a₁⋅ t

yt₃ ^⋅

t	yt
t1 t2 . . . tN	yt1 yt2 . . . ytN

yt_{4 ⋅}

yt₂ ^⋅

yt₁ ^⋅

t₁ t₂ t₃ t₄ t

y=a₀+a₁⋅ t

Ogólne y= a₀+a₁t + . . . + a_Ntⁿ

Model ma n punktów (t i y_ti )^N_i=1 i n+1 parametrów

Ta funkcja ma tendencje wzrostową. Tendencja liniowa wzrostowa.

y_t = a₀ + a₁t₁ + a₁t₄

kwadrat

y= a₀ + a₁ ⋅t + a₂t²

Model ogólny

y= a₀+a₁t + . . . + a_Ntⁿ

(t i y_ti )^N_i=1 model ten ma n punktów i n + 1 parametrów

punkt t₁ spełnia to równanie ; za t podstawiamy t₁

t = t₁ a₀+a₁t₁ + a₂t₁² + . . . + a_Nt₁ ⁿ = y_t1

t = t₂ a₀+a₁t₂ + a₂t₂² + . . . + a_Nt₂ ⁿ = y_t2

_{. . .}

t = t_N a₀+a₁t_N+ a₂t_N² + . . . + a_nt_N ⁿ = y_tN

Ile równań :N

Ile niewiadomych: n + 1

Szukamy modelu to znaczy staramy się znaleźć współczynniki a₀, a₁, . . . a_n - model w postaci y= a₀+a₁t + . . . + a_Ntⁿ . To co jest znane wpisujemy do znanych macierzy.

elementy znane elementy nieznane elementy znane

t = t₁ 1 t₁, t₁², . . . t₁ⁿ a₀ y_t1

t = t₂ 1 t₂, t₂², . . . t₂ⁿ a₁ y_t2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

t = t_N 1 t_N, t_N², . . . t_Nⁿ a_n y_tN

wektory

x p y

N,n+1 n=1,1 N,1 N,n+1 n=1,1 N,1

x ⋅ p = y x ⋅ p ≈ y

Nie zawsze istnieje rozwiązanie takiego równania. Będziemy zadawalali się przybliżeniami.

≈

x ∙ p ≈ y

wektor wektor

Moduł wektora

Znaleźć takie p żeby długość tego wektora │Xp-y│ była jak najmniejsza.

Staramy się zminimalizować różnicę │Xp-y│. Najmniejsza wartość może być 0 bądz liczby p dodatnie.

Twierdzenie

Niech X będzie macierzą o wymiarach n, m (n wierzy i m kolumn), y wektorem n-elementowym (macierzą o wymiarach h,1). Niech p będzie wektorem m-elementowym i niech dana będzie funkcja m zmiennych.

V (p) = │Xp-y│²

Wtedy funkcja V(p) osiąga minimum globalne w punkcie p = x ^T ∙ y

gdzie x ^T - oznacza macierz psełdoinwersji (psełdoodwrotną).

Jeżeli kolumny macierzy X są liniowo niezależne

(det (x ^T x) ≠ 0) to

x ^T = (x ^T ∙ x ) ^-1 ∙ x ^T

V(p) = │Xp - y │² → długość wektora. Jego długość zależy od parametrów.

p - funkcja wielu zmiennych.

Szukamy minimum funkcji V(p). Szukamy minimum globalne dla funkcji V(p).

x ^T - psełdoinwersja , psełdoodwrotność

Wziąć macierz i policzyć takie wyrażenie macierzowe V(p) = Xp - y │² i obliczyć p = x ^T ∙ y

⋅

⋅

⋅

⋅ krzywa drugiego stopnia

⋅

⋅

Musimy dobrać taki stopień wielomianu aby przechodził on przez wszystkie punkty.

Zbyt wysoki stopień wielomianu przyjęty może doprowadzić do błędu. Nie należy wychodzić zbyt wysoko ze stopniem wielomianu.

MODELE ANALITYCZNE TENDENCJI

y_t= f_t + ξ _t1 , t= 1, ..., n, E (ξ_t) = 0 model addytywny

y_t= f_t ∙ ξ _t , t= 1, ..., n, E (ξ_t) = 1 model multiplikatywny

ξ - ksi

FUNKCJA WIELOMIANOWA

y_t = a₀ + a_1t + . . . +a_ntⁿ

FUNKCJA WYKŁADNICZA

y_t = e ^a+bt e - stała = 2,71

y_t = ab²

FUNKCJA POTĘGOWA

y_t= a t ^b

FUNKCJA LOGARYTMICZNA

y_t= a + b ln t

y_t = e ^a+bt → parametry a i b

przedstawiamy to za pomocą logarytmu

y_t' = ln y_t = ln (e ^a+bt ) = (a + b ∙ t) ∙ ln e = a + b ∙ t

y_t = a + b ∙ t

ln x = y

eⁿ = x

log ab = c

a^c = b

ln x^y = y lnx

ln (x ∙ y ) = ln x +ln y

ln e = 1

y_t' = a + b ⋅ t

t	yt	ln yt
t1 t2 . . . tn	y1 y2 . . . ytn	ln yt1 ln yt2 . . . ln ytn

y_t = a ∙ t^b

ln y_t = ln (a ∙ b ^t ) = ln a + ln b ^t = ln a + t ln b

ln y_t = ln a + t ln b a' , b' - niewiadome

y_t' a' b'

y_t' = a' + t ∙ b'

Wyznaczamy a' i b'

a' = ln a ⇒ a = e^a'

b' = ln b ⇒ b = e^b'

Funkcja logarytmiczna.

a

y_t = −−−−−−

1-be ^-dt

lub

a lnt

y_t = −−−−−−

1+be ^-dt

asymptoda wartość pola przecięcia 0,5 a

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 punkt przecięcia ln (b) d

MODELE SKŁADOWEJ OKRESOWE (KOMENTARZE)

Metoda wskaźników i analiza Fouriera.

Modele addytywne i multiplikatywne szeregu czasowego.

Arytmetyka wykresów.

Odjąć od szeregu składową okresową. Czy produkcja wzrasta czy maleje zależy od pór roku. Od danych należy odjąć składową okresową.

Składowa okresowa składa się z:

- okresowa składowa,

- okresowe zmiany,

- przypadkowe.

Wiele zjawisk nie podlega inrekcjom i do tego używamy analizy Fouriera. Jest to czysta analiza matematyczna dająca wspaniałe efekty.

Metoda wskaźników występuje jeżeli możemy powiedzieć ile faz w roku występuje. Nakładamy pewne dodatki, które mogą być addytywne lub multiplikatywne.

Zajrzeć na stronę internetową będą materiały do egzaminu - będą podobne.

http://acn.waw.op/barbel

3