Regula falsi

Dwie pierwsze iteracje algorytmu, dla przykładowej funkcji (oznaczona na czerwono); na niebiesko zaznaczono sieczne

Regula falsi (łac. fałszywa linia prosta, fałszywa reguła) — algorytm rozwiązywania równań nieliniowych jednej zmiennej.

Na funkcję y = f(x) nakładane są następujące ograniczenia:

1. W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.

2. Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: f(a)f(b) < 0.

3. Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.

Algorytm przebiega następująco:

• Na początku przez punkty A = (a,f(a)) i B = (b,f(b)) przeprowadzana jest cięciwa.

• Punkt przecięcia x₁ z osią OX jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.

• Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.

• Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty (x₁,f(x₁)) oraz A lub B - wybierany jest ten punkt, którego rzędna ma znak przeciwny do f(x₁). Jednak w praktyce, dzięki ograniczeniu nr 3 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem.

• Następnie wyznaczane jest przecięcie nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX (x_i) i algorytm powtarza się.

Nazwa metody pochodzi od łacińskich słów: regula¹ znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i falsus, fałszywy — metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako "fałszywa linia prosta" jak i "fałszywa reguła" i obydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.

Wzory[edytuj]

dla i = 1,2,...