Wydział Budownictwa, Architektury
i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Rozwiązanie płaskich zagadnień teorii sprężystości w układzie kartezjańskim

Metoda wielomianów – tarcza prostokątna

Dominika Cichańska

Kierunek: budownictwo

Grupa 4 (TOB)

Studia stacjonarne II-go stopnia

Semestr I

Bydgoszcz, rok akademicki 2013/2014

Gdy nie ma sił masowych lub gdy mają one wartości stałe, to rozwiązanie zagadnień dwuwymiarowych w tych przypadkach sprowadza się do całkowania równania różniczkowego:

$$\frac{\partial^{4}\phi}{{\partial x}^{4}} + \frac{\partial^{4}\phi}{{\partial x}^{2}{\partial y}^{2}} + \ \frac{\partial^{4}\phi}{{\partial y}^{4}} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{\lbrack 1\rbrack}$$

z uwzględnieniem warunków brzegowych. W przypadku długiego prostokątnego pasma można poszukiwać rozwiązań równania [1] w postaci wielomianów.

Przyjmując wielomiany różnych stopni i odpowiednio dobierając ich współczynniki, można rozwiązać szereg praktycznie ważnych zagadnień.

Rys. 1.

Zaczynając od wielomianu drugiego stopnia

$$\phi_{2} = \ \frac{a_{2}}{2}x^{2} + \ b_{2}xy + \ \frac{c_{2}}{2}y^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\mathbf{\lbrack 2\rbrack}$$

który spełnia dokładnie równanie [1] i przyjmując g=0, otrzymamy na podstawie równań:

$$\sigma_{x} = \ \frac{\partial^{2}\phi_{2}}{{\partial y}^{2}} = \ c_{2},\ $$

$$\sigma_{y} = \ \frac{\partial^{2}\phi_{2}}{{\partial x}^{2}} = \ a_{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{\lbrack 3\rbrack}\ $$

$$\tau_{\text{xy}} = \ \frac{\partial^{2}\phi_{2}}{\partial x\partial y} = \ {- b}_{2},\ $$

wszystkie trzy składowe są wielkościami stałymi w całym obszarze ciała, czyli funkcja naprężeń [2] opisuje kombinację równomiernego rozciągania lub ściskania w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach oraz równomierne ścinanie. Siły na brzegach odniesione do jednostki powierzchni muszą być równe odpowiednim naprężeniom, siły te w przypadku prostokątnej tarczy z brzegami równoległymi do osi współrzędnych pokazano na Rys. 1.

Rozważmy obecnie funkcję naprężeń w postaci wielomianu trzeciego stopnia

$$\phi_{3} = \ \frac{a_{3}}{32}x^{3} + \ \frac{b_{3}}{2}x^{2}y\ + \ \frac{c_{3}}{2}\text{xy}^{2} + \ \frac{d_{3}}{32}y^{3}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\mathbf{\lbrack 4\rbrack}\ $$

Funkcja powyższa także spełnia równanie [1]. Korzystając z równań [3] i przyjmując g=0, znajdujemy:

$$\sigma_{x} = \ \frac{\partial^{2}\phi_{3}}{{\partial y}^{2}} = \ c_{3}x + \ d_{3}y,\ $$

$$\sigma_{y} = \ \frac{\partial^{2}\phi_{3}}{{\partial x}^{2}} = \ a_{3}x + \ b_{3}y,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$

$$\tau_{\text{xy}} = \ \frac{\partial^{2}\phi_{3}}{\partial x\partial y} = \ {- b}_{3}x - \ c_{3}y,\ $$

Rys. 2.

Rys. 3.

Przyjmując dla płyty prostokątnej, pokazanej na Rys. 2. wszystkie współczynniki z wyjątkiem d₃ równe zeru, otrzymujemy czyste zginanie. Jeśli jedynie współczynnik a₃ jest różny od zera, to otrzymujemy czyste zginanie spowodowane naprężeniami normalnymi przyłożonymi do brzegów tarczy y = ±c. Jeśli przyjmie się, że od zera różny jest współczynnik b₃ lub c₃, to oprócz naprężeń normalnych otrzymamy na brzegach tarczy naprężenia styczne. Na Rys. 3. przedstawiony jest np. przypadek, w którym wszystkie współczynniki wielomianu [4] z wyjątkiem b₃ są równe zeru.

Oznaczone kierunki naprężeń odpowiadają dodatniemu b₃. Wzdłuż boków y = ±c działa odpowiednio równomiernie rozłożone naprężenie rozciągające i ściskające, a naprężenia styczne są proporcjonalne do x. Na brzegu x=l działa jedynie stałe naprężenie styczne –b₃l, a na brzegu x=0 nie ma żadnych naprężeń. Podobny rozkład naprężenia otrzymuje się, jeśli przyjąć c₃ różne od zera.

Przyjęcie funkcji naprężeń w postaci wielomianów drugiego i trzeciego stopnia pozwala na całkowitą swobodę w wyborze współczynników, ponieważ równanie [1] spełnione jest niezależnie od ich wielkości. W przypadku wielomianów wyższych stopni, równanie [1] spełnione jest jedynie wtedy, gdy między współczynnikami zachodzą pewne związki, jeśli przyjmiemy funkcję naprężeń np. w postaci wielomianu czwartego stopnia

$$\phi_{4} = \ \frac{a_{4}}{43}x^{4} + \ \frac{b_{4}}{32}x^{3}y\ + \ \frac{c_{4}}{2}{x^{2}y}^{2} + \ \frac{d_{4}}{32}xy^{3} + \ \frac{e_{4}}{43}y^{4}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\mathbf{\lbrack 5\rbrack}\ $$

to po podstawieniu jej do równania [1] przekonamy się, że jest ono spełnione jedynie wtedy, gdy

e₄ =   − 2(c₄ +  a₄)

Składowe naprężenia w tym przypadku wynoszą:

$$\sigma_{x} = \ \frac{\partial^{2}\phi_{4}}{{\partial y}^{2}} = \ c_{4}x^{2} + \ d_{4}xy - \ (2c_{4} + \ a_{4})y^{2}$$

$$\sigma_{y} = \ \frac{\partial^{2}\phi_{4}}{{\partial x}^{2}} = \ a_{4}x^{2} + \ b_{4}xy\ + \ c_{4}y^{2}$$

$$\tau_{\text{xy}} = \ - \ \frac{\partial^{2}\phi_{4}}{\partial x\partial y} = \ - \ \frac{b_{4}}{2}x^{2} - \ 2c_{4}xy - \ \frac{d_{4}}{2}y^{2}$$

Występujące w tych wyrażeniach współczynniki a₄, b₄, c₄, d₄ są dowolne i przez odpowiedni ich dobór możemy otrzymać różne warunki obciążenia prostokątnej tarczy. Przyjmując np. wszystkie współczynniki, z wyjątkiem d₄ równe zeru, znajdujemy:

σ_x =  d₄xy,

σ_y = 0,                                                                               [6]

$$\tau_{\text{xy}} = \ - \ \frac{d_{4}}{2}y^{2}.$$

Rys. 4.

Na Rys. 4. pokazane są siły działające na prostokątną tarczę przy d₄>0 wywołujące naprężenia [6]. Na dłuższych brzegach y = ±c siły styczne rozłożone są równomiernie, a rozkład ich na końcach jest paraboliczny. Działające na brzeg płyty siły styczne sprowadzić można do pary sił, której moment wynosi:

M = $\frac{d_{4}c^{2}l}{2}2c - \ \frac{1}{3}\frac{d_{4}c^{2}}{2}2cl = \ \frac{2}{3}d_{4}c^{3}l$

Moment ten równoważy się z momentem wywołanym działaniem sił normalnych na brzegu płyty x=l.

Rozpatrzmy funkcję naprężeń w postaci wielomianu piątego stopnia

$$\phi_{5} = \ \frac{a_{5}}{54}x^{5} + \ \frac{b_{5}}{43}x^{4}y + \ \frac{c_{5}}{32}x^{3}y^{2} + \ \frac{d_{5}}{32}x^{2}y^{3} + \ \frac{e_{5}}{43}\text{xy}^{4} + \ \frac{f_{5}}{54}y^{5}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\mathbf{\lbrack 7\rbrack}$$

Po podstawieniu do równania [1] widzimy, że jest ono spełnione, gdy:

e₅ =   − (2c₅+ 3a₅)

$$f_{5} = \ - \ \frac{1}{3}(b_{5} + \ 3d_{5})$$

Odpowiednie składowe naprężenia są równe:

$$\sigma_{x} = \ \frac{\partial^{2}\phi_{5}}{{\partial y}^{2}} = \ \frac{c_{3}}{3}x^{3} + \ d_{5}x^{2}y - \ \left( 2c_{5} + \ 3a_{5} \right)\text{xy}^{2} - \ \frac{1}{3}(b_{5} + \ 2d_{5})y^{3}$$

$$\sigma_{y} = \ \frac{\partial^{2}\phi_{5}}{{\partial x}^{2}} = \ a_{5}x^{3} + \ b_{5}x^{2}y\ + \ c_{5}xy^{2} + \ \frac{d_{5}}{3}y^{3}$$

$$\tau_{\text{xy}} = \ - \ \frac{\partial^{2}\phi_{5}}{\partial x\partial y} = \ - \ \frac{1}{3}b_{5}x^{3} - \ c_{5}x^{2}y - \ d_{5}\text{xy}^{2} + \ \frac{1}{3}\ (2c_{5} + \ 3a_{5})y^{3}$$

Współczynniki a₅, b₅, c₅, d₅ są dowolne i przez odpowiedni ich dobór otrzymujemy różne warunki obciążenia tarczy. Przyjmując np. wszystkie współczynniki z wyjątkiem d₅ równe zeru, otrzymujemy:

$$\sigma_{x} = \ d_{5}\left( x^{2}y - \ \frac{2}{3}y^{3} \right),$$

$$\sigma_{y} = \ \frac{1}{3}d_{5}y^{3},$$

τ_xy =   − d₅x²y.

Rys. 5.

Rys. 6.

Siły normalne rozłożone są równomiernie wzdłuż dłuższych brzegów tarczy
(Rys. 5.). Wzdłuż brzegu x=l siły normalne mają dwie składowe, z których jedna zmienia się liniowo, a druga polega zmienności parabolicznej trzeciego stopnia. Siły styczna są proporcjonalne do a; na dłuższych brzegach tarczy, a zmieniają się parabolicznie wzdłuż boku x=l. Ich rozkład pokazany jest na Rys. 6.

Ponieważ równanie [1] jest równaniem różniczkowym liniowym, to można stwierdzić, że suma kilku rozwiązań tego równania jest także jego rozwiązaniem. W dalszym ciągu rozważamy kilka przykładów zastosowania metody superpozycji.

Jeżeli przyjmiemy funkcję naprężeń w postaci jednorodnego wielomianu stopnia drugiego

F = $\frac{1}{23}\text{ax}_{1}^{3} + \ \frac{1}{2}\text{bx}_{1}^{2}x_{2} + \ \frac{1}{2}c_{x1}x_{2}^{2} + \ \frac{1}{23}\text{dx}_{2}^{3}$

Równanie biharmoniczne też nie nakłada żadnych ograniczeń, naprężenia są liniowymi funkcjami współrzędnych

σ₁₁ =  cx₁ +  dx₂

σ₂₂ =  bx₂ +  ax₁

σ₁₂ =   − bx₁ −  cx₂

W przypadku funkcji naprężeń w postaci wielomianu stopnia wyższego niż trzeci, na współczynniki wielomianu są nałożone ograniczenia wynikające z warunku, aby wielomian był funkcją biharmoniczną, np. dla funkcji w postaci:

F = ax₁⁵ +  bx₂⁵ +  cx₁³x₂²

równanie biharmoniczne

$$\frac{\partial^{4}F}{{\partial x}_{1}^{4}} + \ 2\frac{\partial^{4}F}{{\partial x}_{1}^{2}\partial_{2}^{2}} + \ \frac{\partial^{4}F}{{\partial x}_{2}^{4}} = 0$$

będzie spełnione wówczas, gdy

120ax₁ + 120bx₂ + 24cx₁ = 0

lub dla wszystkich x₁, x₂ to znaczy dla x₁=0 i x₂=0 oraz gdy

120a + 24c = 0

b = 0

i funkcja naprężeń F może być przyjęta w postaci:

F = $\frac{24}{120}\text{cx}_{1}^{5} + \ \text{cx}_{1}^{3}x_{2}^{2}$