Statystyka inżynierska projekt część 1

Zbiór C14

Przygotował: Dawid Toporczyk

Zbiór X:

Przedstawienie danych za pomocą szeregu rozdzielczego przedziałowego. Histogram i funkcja dystrybuanty zbioru X:

Liczebność próby:

n  =  500

Najmniejsza wartość:

x_min  =  48 

Największa wartość:

x_max  =  233

Rozrzut:

R  =  x_max  −  x_min = 185

Liczba przedziałów w szeregu rozdzielczym przedziałowym oraz histogramie (zaokrąglona do liczby całkowitej:

k  =  1  +  3, 322  Log(n) = 10 

Szerokość tych przedziałów (zaokrąglona o rząd dokładności więcej od wartości w zbiorze):

$$dx = \frac{R}{k} = 18,5$$

Początek przedziału	Koniec przedziału	Liczba wartości należących do przedziału (ni)	Środki przedziałów (xi)
48,0	66,5	8	57,3
66,5	85,0	16	75,8
85,0	103,5	38	94,3
103,5	122,0	85	112,8
122,0	140,5	87	131,3
140,5	159,0	120	149,8
159,0	177,5	65	168,3
177,5	196,0	53	186,8
196,0	214,5	16	205,3
214,5	233,0	12	223,8

Tabela danych do funkcji dystrybuanty:

nk skum	fk skum
8	0,02
24	0,05
62	0,12
147	0,29
234	0,47
354	0,71
419	0,84
472	0,94
488	0,98
500	1,00

Gdzie:

n_{k skum} oznacza wartości skumulowane. Pierwsza wartość jest równa pierwszej wartości n_i, a każda następna jest sumą poprzedniej n_{k skum} oraz kolejnej n_i, inaczej:

$$\left\{ \begin{matrix} n_{\text{k\ skum}} = n_{k - 1\ skum} + \ n_{i}\ ,\ \text{\ \ \ }\ gdzie\ k = i > 1 \\ n_{k} = n_{i}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ gdzie\ k = i = 1 \\ \end{matrix} \right.\ $$

f_{k skum} oznacza stosunek n_{k skum} do ilości wszystkich danych, czyli:

$$f_{\text{k\ skum}} = \ \frac{n_{\text{k\ skum}}}{n}$$

Analiza Danych liczbowych:

Miary położenia:

Średnia wartość:

$$x_{sr}\ = \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n} = \ 142,59$$

Wartość środkowa (Mediana):

$$M_{e}\ = \left\{ \begin{matrix} x_{\frac{n + 1}{2}\ }\ ,\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{dla\ n\ nieparzystego} \\ \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2},\ \ \ \ \text{dla\ n\ parzystego} \\ \end{matrix} \right.\ = \ 143,00$$

Wartość najczęściej występująca (Modalna):

M_o  =  145, 00

Miary zmienności:

Rozrzut:

R  =  185, 00

Wariancja:

$$s^{2}\ = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - x_{sr} \right)^{2}}{n} = \ 1181,98$$

Odchylenie standardowe:

$$s\ = \sqrt{s^{2}} = \ 34,38$$

Współczynnik zmienności:

$$V_{s}\ = \frac{s}{x_{sr}} \bullet 100\% = \ 24,11\%$$

V_s mniejsze od 10% - mała zmienność danych

V_s w zakresie 10 - 20% - umiarkowana zmienność danych

V_s większe od 20% - duża zmienność danych

Miary kształtu:

Moment centralny trzeciego rzędu:

$$M^{3}\ = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - x_{sr} \right)^{3}}{n} = \ 383,91$$

Współczynnik asymetrii:

$$As\ = \frac{M^{3}}{s^{3}} = \ 0,01$$

A_s < 0 - asymetria lewostronna (wydłużona lewa strona rozkładu)

A_s = 0 - rozkład symetryczny

A_s < 0 - asymetria prawostronna (wydłużona prawa strona rozkładu)

Moment centralny czwartego rzędu:

$$M^{4}\ = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - x_{sr} \right)^{4}}{n} = \ 4000979,99$$

Współczynnik koncentracji:

$$K\ = \frac{M^{4}}{s^{4}} = \ 2,86$$

K < 3 - dane skoncentrowane mniej niż w rozkładzie normalnym

K = 3 - koncentracja danych taka jak w rozkładzie normalnym

K > 3 - dane skoncentrowane bardziej niż w rozkładzie normalnym

Opis:

Średnia arytmetyczna wartości w zbiorze X wynosi 142,59. Jego wartość środkowa to 143,00, a wartość najczęściej występująca to 145,00. Rozrzut wynosi 185,00, zaś Współczynnik zmienności pokazuje, że przeciętnie wielkości różnią się od siebie o 24,11%, co wskazuje na dużą zmienność danych. Dodatni współczynnik asymetrii (0,01) wskazuje na bardzo małą asymetrię prawostronną, a współczynnik koncentracji niewiele mniejszy od trzech (2,86) pokazuje lekkie spłaszczenie rozkładu, w stosunku do rozkładu normalnego.

Zbiór Y (stosowane wzory takie same, jak dla zbioru X):

Przedstawienie danych za pomocą szeregu rozdzielczego przedziałowego. Histogram i funkcja dystrybuanty zbioru Y:

Liczebność próby:

n  =  500

Najmniejsza wartość:

y_min  =  109 

Największa wartość:

y_max  =  422

Rozrzut:

R  = 313

Liczba:

k  = 10 

Szerokość tych:

dx = 31, 3

Początek przedziału	Koniec przedziału	Liczba wartości należących do przedziału (ni)	Środki przedziałów (yi)
109,0	140,3	8	124,7
140,3	171,6	16	156,0
171,6	202,9	38	187,3
202,9	234,2	85	218,6
234,2	265,5	87	249,9
265,5	296,8	120	281,2
296,8	328,1	65	321,5
328,1	359,4	53	343,8
359,4	390,7	16	375,1
390,7	422,0	12	406,4

Tabela danych do funkcji dystrybuanty:

nk skum	fk skum
7	0,01
24	0,05
77	0,15
168	0,34
275	0,55
386	0,77
454	0,91
482	0,96
496	0,99
500	1,00

Analiza Danych liczbowych:

Miary położenia:

Średnia wartość:

y_sr  =  258, 49

Mediana:

M_e  =  275, 00

Modalna:

M_o  =  275, 00

Miary zmienności:

Rozrzut:

R  =  313, 00

Wariancja:

s²  =  2913, 04

Odchylenie standardowe:

s  =  53, 97

Współczynnik zmienności:

V_s  =  20, 88%

Miary kształtu:

Moment centralny trzeciego rzędu:

M³  = 18002, 66

Współczynnik asymetrii:

As  =  0, 11

Moment centralny czwartego rzędu:

M⁴  =  24996232, 67

Współczynnik koncentracji:

K  =  2, 95

Opis:

Średnia arytmetyczna wartości w zbiorze Y wynosi 258,49. Jego wartość środkowa to 258,50, a wartość najczęściej występująca to 275,00. Rozrzut wynosi 313,00, zaś Współczynnik zmienności pokazuje, że przeciętnie wielkości różnią się od siebie o 20,88%, czyli zmienność danych jest duża (powyżej 20%). Dodatni współczynnik asymetrii (0,11) wskazuje na małą, lecz mimo to większą niż w poprzednim zbiorze asymetrię prawostronną, a współczynnik koncentracji mniejszy, ale prawie równy 3 (2,95) pokazuje, że rozkład jest lekko spłaszczony, ale koncentracja danych prawie nie różni się od rozkładu normalnego.