5. Następnie została obliczona gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego Gaussa wyrażona wzorem:

t	P(t)	Przybliżenie
11,15	0,1493347	0,15
11,20	0,3143901	0,31
11,25	0,5922732	0,59
11,30	0,9984362	1,00
11,35	1,5061340	1,51
11,40	2,0330683	2,03
11,45	2,4557568	2,46
11,50	2,6543844	2,65
11,55	2,5673634	2,57
11,60	2,2220607	2,22
11,65	1,7209551	1,72
11,70	1,1926918	1,19
11,75	0,7396597	0,74
11,80	0,4104694	0,41
11,85	0,2038331	0,20

9.Okres wahań T wahadła, niepewność standardowa okresu i niepewność standardowa względna:

T=$\frac{t_{\text{sr}}}{5}$=$\frac{11,5093}{5}$=2,30[s]

∆T=$\frac{S_{t}}{5}$=0,03[s]

n_w=$\frac{T}{T}$=0,01

10.Okres wahań wahadła Tm:

l=1,32m;∆l=0,005m

Tm=2$\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$=2,3024[s]

11.Niepewność maksymalna ∆Tm:

∆T_max=$\pm \left| \frac{\partial T}{\partial l} \right|*l$

∆$T_{\max =} \pm \left| \frac{\partial(2\pi\sqrt{\frac{l}{g})}}{\partial l} \right|$∆l=$\pm \left| \frac{\pi}{\sqrt{l*g}} \right|$*∆l

∆$T_{max =} \pm \left| \frac{3,14}{\sqrt{9,81*1,32}} \right|$*0,005=±0,0044[s]

T=2,3024±0,0044[s]

12.Wnioski: Nawet duża liczba wyników może nie zawierać wartości poprawnej, dlatego musimy zmniejszyć występowanie błędów np. przez powtarzanie nawet kilkukrotnie jednego pomiaru.

Obliczenia:

Wielkości występujące w tabeli:

a)T_i=t_i/3

T_i=16,17/3=5,3900 [s]

b) ω_i=2π/T_i

ω_i=2π/3,234=1,166 [$\frac{1}{s}\rbrack$

c) y_i=ω_i²

y_i=1,359 [$\frac{1}{s^{2}}$]

d) x_i=((αmax)i)²

x_i=0,00274[(rad)²]

Dopasowanie metodą najmniejszych kwadratów prostą y=f(x)

Lp	xi	yi	xi*yi	xi^2	yi^2
1	0,00274	1,35900	0,00372	0,0000075	1,8468810
2	0,01950	1,32400	0,02582	0,0003803	1,7529760
3	0,05148	1,32100	0,06801	0,0026502	1,7450410
4	0,09870	1,31000	0,12930	0,0097417	1,7161000
5	0,16114	1,31000	0,21109	0,0259661	1,7161000
6	0,23882	1,29900	0,31023	0,0570350	1,6874010
7	0,33173	1,27100	0,42163	0,1100448	1,6154410
8	0,43987	1,25400	0,55160	0,1934856	1,5725160
9	0,56324	1,25100	0,70461	0,3172393	1,5650010
10	0,70184	1,23500	0,86677	0,4925794	1,5252250
11	0,85567	1,21800	1,04221	0,7321711	1,4835240
12	1,02473	1,18300	1,21226	1,0500716	1,3994890
13	1,20903	1,15500	1,39643	1,4617535	1,3340250
14	1,40855	1,14100	1,60716	1,9840131	1,3018810
sumy	7,107040	17,631000	8,550823	6,437139	22,261601

y=ax+b x=x_i y=y_i

y_i=ax_i + b

$$\overset{\overline{}}{a} = \frac{(n\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}y_{i} - \sum_{i = 1}^{n}{x_{i}\sum_{i = 1}^{n}{y_{i})}}}}{(n\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} - (\sum_{i = 1}^{n}{x_{i})^{2})}}$$

$\overset{\overline{}}{a} =$-0,141

$\overset{\overline{}}{b}$=$\frac{1}{n}(\sum_{i = 1}^{n}{y_{i} - \overset{\overline{}}{a}}\sum_{i = 1}^{n}{x_{i})}$

b=1,331

Postać równania regresji:

y_i = −0, 141x_i+1,331

zakres danych y(x)	dane linii regresji
wi^2 $$\lbrack\frac{1}{s^{2}}\rbrack$$	((αmax)i)^2 [(rad)^2]
1,359	0,0027
1,324	0,0195
1,321	0,0515
1,310	0,0987
1,310	0,1611
1,299	0,2388
1,271	0,3317
1,254	0,4399
1,251	0,5632
1,235	0,7018
1,218	0,8557
1,183	1,0247
1,155	1,2090
1,141	1,4086

Dane wykresu zależności okresu wahań wahadła od amplitudy:

(αmax)i [˚]	Ti=ti/3 [s]
3	5,3900
8	5,4600
13	5,4667
18	5,4900
23	5,4900
28	5,5133
33	5,5733
38	5,6100
43	5,6167
48	5,6533
53	5,6933
58	5,7767
63	5,8467
68	5,8833

Obliczenie o ile procent zwiększa się okres wahań wahadła przy maksymalnej amplitudzie w stosunku do amplitudy 3:

$$\frac{T_{\max} - T_{1}}{T_{1}} \times 100\%$$

$$\frac{5,8833 - 5,3900}{5,3900} \times 100\% = 9,15\%$$