Wyprowadzić wzór Laplace’a| RYS | Rozpatrzmy powłokę cienkościenną osiowo-symetryczną podlegającą osiowo symetrycznemu ciśnieniu P. | Rzutując na kierunek normalny do ds₁ x ds₂: | 2σ₂(ds₁*g) * (1/2)*[(ds₂)/ρ₂]+2σ₁(ds₂*g)(1/2)[(ds₁)/ρ₁]−p * ds₁ds₂ = 0/ds₁ds₂ | σ₂/ρ₂ + σ₁/ρ₁ = p/g | Model reologiczny Kelvina-Voigta | RYS | równoległe połączenie sprężyny i tłumika za pomocą sztywnych łączników | Równanie konstytutywne materiały: | σ = σ₁ + σ₂ | $\sigma = \varepsilon E + \eta*\dot{\varepsilon}$ | Zakładając, że σ = σ₀ = const całka ogólna przy warunkach początkowych ε = 0 dla t = 0 ma postać: | $\varepsilon\left( t \right) = {(\sigma}_{0}/E\ )\lbrack 1 - e\hat{}( - t/\tau)\rbrack$ gdzie τ = η/E |RYS | Wykres ten przedstawia zmiany odkształcenia od czasu ε(t) przypomina kształtem krzywą pełzania. | Model reologiczny Maxwella | RYS | Równanie konstytutywne materiału: | ε = ε₁ + ε₂ | $\dot{\varepsilon} = \dot{\varepsilon_{1}} + \dot{\varepsilon_{2}}$ | $\dot{\varepsilon_{2}} = \sigma/\eta$ | $\dot{\varepsilon_{1}} = \sigma/E$ | $\dot{\varepsilon_{1}} = \left( \frac{1}{E} \right)(\partial\sigma/\partial t)$ | Po podstawieniu: | $\varepsilon = \left( 1/E \right)\left( \partial\sigma/\partial t \right) + \left( \sigma/\eta \right) = \left( 1/E \right)\dot{\sigma} + (\sigma/\eta)$ | Analizując równanie dla ε = ε₀ = const, przyjmując, że naprężenia w chwili σ = 0 dla t = 0, otrzymujemy: | $\sigma\left( t \right) = \sigma_{0}*e\hat{}( - t/\tau)$ | RYS | Czas reakcji: | t_reakc = τ = η/E | σ(t_reakc) = σ₀/e | Kumulacja uszkodzeń zmęczeniowych: | RYS | n₁/Nf₁ + n₂/Nf₂ + n₃/Nf₃ + … = 1 | $\sum_{}^{}{n_{i}/Nf_{i} = 1}$ | Zalety hipotezy: | - łatwość stosowania | Wady: | brak uwzględnienia historii selekcji obciążenia | | $\sum_{}^{}{(n_{i}/Nf_{i}) \in (0,5 - 10)}$ |Wyprowadzić hipotezę Hubera-Misesa_Hencky’ego | Energia właściwa odkształcenia postaciowego | df = ((1 + γ)/σE)[(σ_x−σ_y)² + (σ_y−σ_z)² + (σ_z−σ_x)² + σ(τ_xy² + τ_yz² + τ_zx²)] | Dla stanu jednoosiowego: | σ_x = σ₀ | σ_y = 0 | σ_z = 0 | τ_xy = τ_yz = τ_zx = 0 | df = ((1+γ)/σE)[2 * σ₀²] | Jeżeli naprężenia mają być jednakowe: | ((1+γ)/σE)[2 * σ₀²]=((1 + γ)/σE)[(σ_x−σ_y)² + (σ_y−σ_z)² + (σ_z−σ_x)² + σ(τ_xy² + τ_yz² + τ_zx²)] | $\sigma_{0} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)*\left\lbrack \left( \sigma_{x} - \sigma_{y} \right)^{2} + \left( \sigma_{y} - \sigma_{z} \right)^{2} + \left( \sigma_{z} - \sigma_{x} \right)^{2} + \sigma\left( \tau_{\text{xy}}^{2} + \tau_{\text{yz}}^{2} + \tau_{\text{zx}}^{2} \right) \right\rbrack^{1/2}$ | $\sigma_{\text{zed}}^{\text{HMH}} = \sqrt{\sigma_{x}^{2} + \sigma_{y}^{2} + \sigma_{z}^{2} - \sigma_{x}*\sigma_{y} - \sigma_{y}*\sigma_{z} - \sigma_{z}*\sigma_{x} + 3*\left( \tau_{\text{xy}}^{2} + \tau_{\text{yz}}^{2} + \tau_{\text{zx}}^{2} \right)}$ | Dla płaskiego stanu naprężenia (PSN): | σ_x ≠ 0 | σ_y ≠ 0 | σ_z = 0 | τ_xz = τ_yz = 0 | $\sigma_{\text{zad}}^{\text{HMH}} = \sqrt{\sigma_{x}^{2} + \sigma_{y}^{2} - \sigma_{x}*\sigma_{y} + 3*\tau_{\text{xy}}^{2}}$ | Interpretacja graficzna: | RYS | Przypadki szczególne: | a) czyste ściskanie | σ_x = 0 | σ_y = 0 | τ_xy = τ | $\sigma_{\text{zed}}^{\text{HMH}} = \sqrt{3\tau^{2}}$ | RYS | b) naprężenia σ i styczne τ | σ_x = σ | σ_y = 0 | τ_xy = τ | $\sigma_{\text{zed}}^{\text{HMH}} = \sqrt{\sigma^{2} + 3\tau^{2}}$ | c) hydrostatyczne ściskanie | σ_x = −σ | σ_y = −σ | σ_z = −σ | τ_xy = τ_yz = τ_zx = 0 | Wyprowadzić twierdzenie o wzajemności prac i przemieszczeń (tw. Bettiego i Maxwella) | RYS | tw. Bettiego | Rozpatrzmy układ na który działają siły P_j. | Układ obciążony siłami P_i | Siły P wykonują pracę nad odpowiednim im przemieszczeniu U_ij | $(1/2)*\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{i}U_{\text{ii}}}}$ | Jednocześnie siły P_j, zachowują pracę na odpowiednim im przemieszczeniu U_kk | $(1/2)*\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{j}U_{\text{ji}}}}$ | Teraz układ obciążony siłami P_k | Siły wykonują pracę nad odpowiednim im przemieszczeniem U_kk | $(1/2)*\sum_{k = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{k}U_{\text{kk}}}}$ | Dodatkowo siły P_i wykonują prace na przemieszczeniach U_ik | $(1/2)*\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{i}U_{\text{ik}}}}$ | Zaś siły P_j wykonują pracę na przemieszczeniach U_jk | $(1/2)*\sum_{j = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{j}U_{\text{jk}}}}$ | Suma prac sił zewnętrznych jest równa przyrostowi energii sprężystej | $V_{1} = (1/2)\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{i}U_{\text{ii}}}}$+$\left( 1/2 \right)\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{j}U_{\text{ji}}}} + \left( 1/2 \right)\sum_{k = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{k}U_{\text{kk}}}} + \left( 1/2 \right)\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{i}U_{\text{ik}}}} + (1/2)\sum_{j = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{j}U_{\text{jk}}}}$ | W drugim równaniu mamy kolejność przyłożenia sił: | a) $(1/2)\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{i}U_{\text{ii}}}}$ | b) $(1/2)\sum_{j = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{j}U_{\text{jk}}}}$ | c) $(1/2)\sum_{k = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{k}U_{\text{kk}}}}\ $ | d) $(1/2)\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{i}U_{\text{ik}}}}$ | e) $(1/2)\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{j}U_{\text{ji}}}}$ | Przyrost energii: | $V_{2} = (1/2)\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{i}U_{\text{ii}}}}$+$\left( 1/2 \right)\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{j}U_{\text{ji}}}} + \left( 1/2 \right)\sum_{k = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{k}U_{\text{kk}}}} + \left( 1/2 \right)\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{i}U_{\text{ik}}}} + (1/2)\sum_{j = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{j}U_{\text{jk}}}}$ | V₁ = V₂ | $\left( 1/2 \right)\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{k = 1}^{n}{P_{i}U_{\text{ik}}}} = \left( 1/2 \right)\sum_{k = 1}^{n}{\sum_{i = 1}^{n}{P_{k}U_{\text{ki}}}}$ | tw. Maxwella | Jeżeli na układ liniowo sprężysty działają 2 równe co do modułu wspólne siły, to przemieszczenie odpowiadające pierwszej, lecz wywołana przez drugą siłę równe jest równe przemieszczeniu odpowiadającemu drugiej, lecz spowodowane pierwszą siłą. | Jednocześnie: | U_ik = S_ikP_k | oraz | U_ki = S_kiP_i | P_iS_ikP_k = P_kS_kiP_i | Zatem: S_ik = S_ki | Analogicznie | a_ik = a_ki | [S₁₁, S₁₂, …,S_1n|S₂₁, S₂₂, …,  S_2n| S₃₁,S₃₂,…, S_3n] = 0 | [a₁₁, a₁₂, …,a_1n|a₂₁, a₂₂, …,  a_2n| a₃₁,a₃₂,…, a_3n] = A | Zatem liczba współczynników S_ik jak i a_ik dla układu sił lub naprężeń zmienia się z n² na [n(n+1)]/2 | Wyprowadzić twierdzenie Castigliano | Energia sprężysta układu liniowo-sprężystych wyraża się kwadratową formą niezależnie działających sił czynnych | $V = \sum_{i = k}^{n}{\left( 1/2 \right)P_{i}U_{i} =}\left( 1/2 \right)\left( P_{1}U_{1} + P_{2}U_{2} + P_{3}U_{3} + \ldots + P_{n}U_{n} \right) = \left( 1/2 \right)\lbrack P_{1}\left( \rho_{11}P_{1} + \rho_{12}P_{2} + \rho_{13}*P_{3} + \ldots + \rho_{1n}P_{n} \right) + P_{2}\left( \rho_{21}P_{1} + \rho_{22}P_{2} + \rho_{23}P_{3} + \ldots + \rho_{2n}P_{n} \right) + P_{n}\left( \rho_{n1}P_{1} + \rho_{n2}P_{2} + \rho_{n3}P_{3} + \ldots + \rho_{\text{nn}}P_{n} \right)$ | Z analizy tw. Maxwell’a | ρ₁₂ = ρ₂₁ | ρ₁₃ = σ₃₁ | V = (1/2)(P₁²ρ₁₁ + 2P₁P₂ρ₁₂ + 2P₁P₃ρ₁₃ + … + P₂²ρ₂₂ + 2P₂P₃ρ₂₃ + … + P_n²ρ_n) | Po zróżniczkowaniu względem jednej z sił np. P₁ otrzymujemy: | (∂V/(∂P₁ )) = P₁σ₁₁ + 2P₂σ₁₂ + P₃σ₁₃ + … + P_nσ_1n = U₁ | Analogicznie dla dowolnej siły | _­(∂V/(∂P_i )) = U_i => tw. Castigliano | Tok postępowania przy Castigiano | 1. Założyć stosowne do konstrukcji podpór zależności podporowe. 2. Napisać równanie równowagi. 3. Obrać wielkości statycznie niewyznaczalne. 4. Wyrazić energię sprężystą jako funkcję sił czynnych i wyłącznie tych sił podporowych które uznaliśmy za statycznie niewyznaczalne. 5. Ustalić zgodnie z zasadą minimum energii równej (∂V/(∂R_i )) = 0 i z nich wyznaczyć wielkości statycznie niewyznaczalne. 6. Z równań równowagi wyznaczyć pozostałe wielkości podporowe. | Wyprowadzić wzór określający siłę krytyczną pręta podpartego przegubowo dociążonego siłą osiową. | RYS | Równanie linii ugięcia | EI * ((d²y)/(dx² )) = ±Mg | Moment gnący | Mg = Py | Po podstawieniu: | EI((d²y)/(dx² )) = −Py | Zatem | ((d²y)/(dx² )) + (P/EI)y = 0 | Uproszczenia: | (P/EI) = k² | Otrzymujemy: | ((d²y)/(dx² )) + k²y = 0 | Całka ogólna: | y = Asin(Kx) + Bcos(Kx) | Warunki brzegowe: |y(x=0) = 0 | y(x=l) = 0 | Podstawienie 1: | 0 = Asin(K*0) + Bcos(K * 0) | B = 0 | Podstawienie 2: | 0 = Asin(Kl) + 0 * cos(Kl) | Asin(Kl) = 0 | A = 0 lub sin(Kl) = 0 | Kl = nπ | $k = \sqrt{P/EI}$ n = 0, 1, 2, … | $\sqrt{P/EI}*l = n\pi$ | (P/EI) * l² = n²π² | P = (n²π²EI)/l² | dla n = 0 => P = 0 |dla n = 1 | P_kr = (π²EI)/l² | dla n = 2 | P_kr = (4 * EI)/l² | dla n = 3 | P_kr = (9 * EI)/l²