Mechanika płynów - zadania z poprzednich lat

1. Warunki równowagi w płynie.

Określone przez dwa prawa:

• prawo Pascala

• prawo Eulera

Założenia:

• Płyn w spoczynku

• Działają siły ciśnieniowe i objętościowe

• Płyn znajduje się w polu grawitacyjnym

$\mathbf{\rho}\mathbf{q}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\partial p}}{\mathbf{\partial x}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{\rho}\mathbf{q}_{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\partial p}}{\mathbf{\partial y}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{\rho}\mathbf{q}_{\mathbf{z}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\partial p}}{\mathbf{\partial z}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}ogolne\ warunki\ rownowagi\ plynu\ \ \ $!

Wnioski

skalarne pole ciśnień w płynie znajdującym się w równowadze jest powiązane z wektorowym polem sił masowych zależnościami różniczkowymi

wyznaczenie funkcji ciśnienia o postaci p(x,y,z) w określonym polu sił objętościowych wymaga scałkowania równań równowagi

2. Hipoteza Newtona.

Lepkość ma znaczenie tylko wtedy kiedy płyn jest w ruchu. Wówczas poszczególne elementy płynu doznają odkształceń postaciowych – czemu towarzyszą naprężenia styczne.

Według hipotezy Newtona naprężenia te są wprost proporcjonalne do tzw. prędkości

odkształceń postaciowych. Naprężenia te powstają nie tylko pomiędzy sąsiadującymi

warstwami płynu, ale również pomiędzy płynem i ograniczającym ten płyn ciałem stałym.

Hipoteza Newtona:

$\mathbf{\tau = \mu}\frac{\mathbf{\text{dv}}}{\mathbf{\text{dn}}}$ μ - dynamiczny współczynnik lepkości [kg/m∙s=N∙s/m₂=Pa∙s]

dv/dn - szybkość ścinania

Dla płynu niutonowskiego naprężenie styczne jest liniowo proporcjonalne do gradientu prędkości

3. Obliczyć zmienność liczby Reynoldsa dla rury o zmniejszającym się przekroju od d1 do d2.

$$\mathbf{Re =}\frac{\mathbf{\text{vd}}}{\mathbf{\nu}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{v -}predkosc\ czynnika\mathbf{\ \ \ \ d -}srednica\ kanalu\mathbf{\text{\ \ }}\mathbf{\nu -}lepkosc\ kinematyczna\ \left\lbrack \frac{m^{2}}{s} \right\rbrack\mathbf{\text{\ \ }}$$

4. Wyjaśnić pojęcia: ciśnienie bezwzględne, nadciśnienie, podciśnienie.

Nadciśnienie - różnica między ciśnieniem bezwzględnym a ciśnieniem atmosferycznym w przypadku, gdy jest ono mniejsze od bezwzględnego

Podciśnienie - różnica między ciśnieniem atmosferycznym a ciśnieniem bezwzględnym w przypadku, gdy jest ono mniejsze od atmosferycznego.

Występuje w pompach ssawnych, gaźnikach samochodowych, układzie wspomagania hamulców, odkurzaczach, pożarnictwie do odsysania wody itp.

Ciśnienie bezwzględne (absolutne) - ciśnienie wyznaczane względem próżni doskonałej, której ciśnienie wynosi 0.

Ciśnienie atmosferyczne - stosunek wartości siły, z jaką słup powietrza atmosferycznego naciska na powierzchnię Ziemi, do powierzchni, na jaką ten słup naciska.

Określenia ciśnień

• Ciśnienie atmosferyczne (barometryczne) p_b

• Ciśnienie bezwzględne (absolutne) p_a p_a>p_b lub p_a<p_b

• Nadciśnienie(p_n) p_n= p_a- p_b

• Podciśnienie (p_w) p_w= p_b- p_a

Jednostka ciśnienia – Paskal Pa (1 Pa = 1 N/m2, 1 bar = 10⁵ Pa, 1 MPa = 10^6Pa)

5. Wzór Torricellego i jego zastosowanie.

$$\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\text{gh}}}$$

Wzór Torricellego stosujemy dla otworów małych tzn. takich, że:

powierzchnia otworu jest mała w porównaniu z powierzchnią zwierciadła cieczy,

gdy wymiar pionowy otworu jest mały w porównaniu z głębokością zanurzenia

Przydatność do określania prędkości wypływu.

W przypadku określenia strumienia objętościowego:

$\mathbf{Q = \ }\mathbf{F}_{\mathbf{0}}\mathbf{\bullet}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\text{gh}}}$ błąd jest duży (wynosi ok. 40%).

6. Paradoks hydrostatyczny.

Wartość siły potrzebnej do zrównoważenia siły naporu jest zawsze taka sama (przy naporze na płaskie dno naczynia)

Paradoks hydrostatyczny – ciśnienie na dnie naczynia nie zależy wprost od ciężaru cieczy zawartej w naczyniu, a zależy od wysokości słupa cieczy nad dnem.

Natomiast parcie cieczy na dno naczynia zależy od pola powierzchni dna, wysokości słupa cieczy i ciężaru właściwego cieczy.

Wynika z tego, że parcie cieczy na dno w naczyniach o różnych kształtach będzie takie samo, jeżeli pole powierzchni dna każdego z tych naczyń i wysokość słupa cieczy w tych naczyniach będą równe.

7. Do czego służy wzór Stokesa i kiedy jest stosowany.

Wzór/Prawo Stokesa - określa siłę oporu ciała w kształcie kuli poruszającego się w płynie (cieczy lub gazie).

F = −6π • η • r • v

F - siła oporu,

η - lepkość dynamiczna płynu,

r - promień kuli,

v - prędkość ciała względem płynu

Wzór jest spełniony dla małych prędkości ciała (ściślej: dla małych liczb Reynoldsa)

$$\mathbf{Re =}\frac{\mathbf{\rho \bullet v \bullet 2r}}{\mathbf{\eta}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ }}\text{liczba\ Reynold}s^{'}\text{a\ dla\ kuli\ \ \ \ \ \ }\mathbf{\rho} - gestosc\ plynu,\ w\ ktorym\ sie\ porusza\ kula$$

8. Opór w przewodzie (straty?)

Rurociąg składa się z n odcinków rur o długościach li i średnicach Di oraz z k urządzeń w których powstają straty.

Strata ciśnienia w rurociągu wynosi:

p_str=p_liniowe+p_miejscowe

$$\mathbf{\Delta}\mathbf{p}_{\mathbf{\text{str}}}\mathbf{= \lambda \bullet}\frac{\mathbf{L}}{\mathbf{d}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet g}\mathbf{\ \ + \ \xi\ \bullet}\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet g\ \ \ }\left\lbrack \mathbf{\text{Pa}} \right\rbrack\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ L -}dl.odcinka$$

Rurociąg krótki - straty miejscowe są tego samego rzędu co liniowe

Rurociąg długi - straty miejscowe są małe w porównaniu z liniowymi (do 10%). Obliczamy jedynie straty liniowe. Straty miejscowe uwzględniamy przez umowne zwiększenie strat liniowych

9. Prawo Pascala i jego zastosowanie (kiedy obowiązuje).

Inaczej zwane prawem równomiernego rozchodzenia się ciśnienia w płynie:

Gdyby na płyn działały wyłącznie siły powierzchniowe, to ciśnienie miałoby jednakową wartość w każdym punkcie obszaru płynnego.

Założenie:

Nie występują siły objętościowe

q = 0 (q_x = q_y = q_z = 0)

Z równania równowagi wynika, że:

p = const

Wniosek:

Zmiana ciśnienia zrealizowana w dowolnym punkcie płynu w równowadze wywołuje analogiczną zmianę ciśnienia w każdym innym punkcie płynu.

Siłę ciężkości możemy zaniedbać:

Płyny - przy dużych ciśnieniach i małych różnicach głębokości zanurzenia
Gazy - nawet przy małych ciśnieniach

$$\mathbf{p =}\frac{\mathbf{F}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}}\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p =}\frac{\mathbf{F}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\frac{\mathbf{F}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{F}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{F}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{F}_{\mathbf{1}}\mathbf{\bullet}\mathbf{A}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}}\mathbf{\ }$$

10. Obliczyć napór na dolną płytę i ciężar wody oraz określić, czy wartości te są sobie równe. Wymiary dolnej płyty 10x10.

γ_H20 = 9,81∙ 1000 = 9810 N/m³

N = γ•z_s•F      

N = 9810 ∙ 10² ∙ Zs =

Zs = h dla zbiornika otwartego

$$\mathbf{z}_{\mathbf{s}}\mathbf{= h +}\frac{\mathbf{p}_{\mathbf{n}}}{\mathbf{\gamma}}\mathbf{\ }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ zbiornika\ zamkknietego\ \ \ \ \ pn - \ cisn.nad\ powierzchnia\ cieczy$$

11. Obliczyć p2, V2 dla podanego d1, d2, p1, V1.

z równania Bernoulliego:

$$\frac{\mathbf{V}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2g}}\mathbf{+}\mathbf{p}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{d}_{\mathbf{1}}\mathbf{\bullet \rho \bullet g =}\frac{\mathbf{V}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2g}}\mathbf{+}\mathbf{p}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{d}_{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet \rho \bullet g}$$

i z równania ciągłości strugi:

$$\mathbf{p}_{\mathbf{1}}\mathbf{V}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{p}_{\mathbf{2}}\mathbf{V}_{\mathbf{2}}\mathbf{\ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ }\mathbf{p}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{p}_{\mathbf{1}}\mathbf{V}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{V}_{\mathbf{2}}}\mathbf{\ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ }\mathbf{V}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{p}_{\mathbf{1}}\mathbf{V}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{p}_{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\ podstawic\ do\ Bernoulliego\ za\ p2\ i\ v2$$

12. Włoskowatość

Włoskowatość - zjawisko wywołane siłami działającymi między drobinami ciał stałych i ciekłych, polegające na wznoszeniu się do różnej wysokości w naczyniach i rurkach o różnej średnicy cieczy znajdującej się w równowadze.

Składowa pionowa siły wynikającej z istnienia napięcia powierzchniowego na ściance musi

zrównoważyć ciężar słupa cieczy w rurce:

2π • r • σ • cosθ = ρ • g • π•r²•h

$$\mathbf{h =}\frac{\mathbf{2 \bullet \sigma \bullet cos\theta}}{\mathbf{\rho \bullet g \bullet r}}$$

13. Podać jedną postać równania ciągłości i napisać dla jakiego rodzaju cieczy obowiązuje

Równanie ciągłości dla nieustalonego przepływu przestrzennego płynu ściśliwego:

$$\frac{\mathbf{\partial p}}{\mathbf{\partial t}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\partial}\left( \mathbf{\rho}\mathbf{v}_{\mathbf{x}} \right)}{\mathbf{\partial x}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\partial}\left( \mathbf{\rho}\mathbf{v}_{\mathbf{y}} \right)}{\mathbf{\partial y}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\partial}\left( \mathbf{\rho}\mathbf{v}_{\mathbf{z}} \right)}{\mathbf{\partial z}}\mathbf{= 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }Sluszne\ dla\ plynu\ idealnego\ oraz\ lepkiego\ $$

lub:

$$\frac{\mathbf{\partial}\left( \mathbf{\rho}\mathbf{v}_{\mathbf{x}} \right)}{\mathbf{\partial x}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\partial}\left( \mathbf{\rho}\mathbf{v}_{\mathbf{y}} \right)}{\mathbf{\partial y}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\partial}\left( \mathbf{\rho}\mathbf{v}_{\mathbf{z}} \right)}{\mathbf{\partial z}}\mathbf{= 0\ \ \ \ \ }Dla\ przeplywu\ niescisliwego\ ustalonego\ i\ nieustalonego\ $$

14. Zdefiniować 2 dowolne liczby kryterialne

• liczba Reynolds’a - wyraża stosunek sił bezwładności do sił tarcia wewnętrznego w czasie przepływu.

$$\mathbf{Re =}\frac{\mathbf{\text{vl}}}{\mathbf{\nu}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{v -}predkosc\ czynnika\mathbf{\ \ \ \ l -}srednica\ kanalu\mathbf{\text{\ \ }}\mathbf{\nu -}lepkosc\ kinematyczna\mathbf{\text{\ \ }}$$

• liczba Eulera - wyraża stosunek sił ciśnieniowych do sił bezwładności w przepływach nieściśliwych.

$$\mathbf{Eu =}\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{\rho}\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{p - \ }\ cisnienie\ (\mathbf{\text{Δp}} - roznica\ cisnien)\ \ \ \ \ \mathbf{\rho -}gestosc\ plynu\ \ \ \ \mathbf{v -}predkosc\ przeplywu$$

• liczba Froude’a - wyraża stosunek sił bezwładności do sił ciężkości.

$$\mathbf{Fr =}\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\text{gl}}}\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ v -}predkosc\ \ \ \ \ \ \mathbf{g} - \ stala\ grawitacji\ \left( 9,81 \right)\ \ \ \ \ l - wymiar\ liniowy$$

15. Wyprowadzić (opisać) jak obliczyć strumień wypływającej cieczy

Przez mały otwór:

Strumień wypływającej cieczy liczy się z równania Bernoulliego oraz równania ciągłości.

$\mathbf{v}_{\mathbf{z}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{F}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{F}_{\mathbf{z}}}\mathbf{\bullet}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{\ }\ \ \ \ predkosc\ opadania\text{\ cieczy\ w\ zbiorniku\ }$

$$v_{0} = \sqrt{\frac{\mathbf{2}\mathbf{\text{g\ }}\left( \frac{\mathbf{p}_{\mathbf{n}}}{\mathbf{\gamma}}\mathbf{+ h} \right)}{\mathbf{1 -}\left( \frac{\mathbf{F}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{F}_{\mathbf{z}}} \right)^{\mathbf{2}}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ predkosc\ wyplywu\ cieczy\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{p}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{p}_{\mathbf{a}}\mathbf{-}\mathbf{p}_{\mathbf{b}}$$

gdy $\frac{\mathbf{F}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{F}_{\mathbf{z}}}\mathbf{\ll 1}$: $\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\text{g\ }}\left( \frac{\mathbf{p}_{\mathbf{n}}}{\mathbf{\gamma}}\mathbf{+ h} \right)}$

dla p_n= 0: $\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\text{gh\ }}}$

$$\mathbf{Q =}\mathbf{F}_{\mathbf{0}}\mathbf{\bullet}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\text{gh}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}strumien\ wyplywu$$

Przez duży otwór (wymiary rzędu głębokości zanurzenia otworu)

$$\mathbf{Q =}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{μ\ }}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{g}}}{\mathbf{\text{sin\ α}}}\mathbf{\bullet}\int_{\mathbf{z}\mathbf{1}}^{\mathbf{z}\mathbf{2}}{\mathbf{b}\left( \mathbf{z} \right)\sqrt{\mathbf{z}}\mathbf{\text{dz}}}$$

16. Jak liczymy H strat?

h_str=h_liniowe+h_miejscowe

$$\mathbf{\Delta}\mathbf{h}_{\mathbf{\text{str}}}\mathbf{= \lambda \bullet}\frac{\mathbf{L}}{\mathbf{d}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2g}}\mathbf{\ \ + \ \xi\ \bullet}\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2g}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ }}\left\lbrack \mathbf{m} \right\rbrack\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ L -}dl.odcinka$$

17. Podana figura z potrzebnymi wymiarami.

a) obliczyć siłę działającą na dno naczynia

N = γ•z_s•F                    napor hydrostatyczny  F- pole dna figury

Z_s = h (zbiornik otwarty)

$$\mathbf{z}_{\mathbf{s}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{p}_{\mathbf{n}}}{\mathbf{\gamma}}\mathbf{+ h}$$

b) obliczyć ciężar cieczy znajdującej się w naczyniu

γ = ρ • g

c) czy wyniki z a i b są takie same. Dlaczego?

Wyniki byłyby takie same tylko w przypadku, gdyby działała siła wyporu (wtedy siła jest równa ciężarowi cieczy). Na dno naczynia nie działa siła wyporu, więc wyniki są różne.

Lub z paradoksu hydrostatycznego:

Parcie cieczy na dno naczynia zależy od ciężaru właściwego cieczy, ale także od pola powierzchni dna i wysokości słupa cieczy. Dlatego otrzymujemy różne wyniki.