Politechnika Śląska Katowice dnia23.02.2011r.

Wydział Transportu

ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI

Temat: Analiza drgań mechanicznych w strunach

Grupa T15

Sekcja 3

Patryk Włóczyk

Wojtek Chynek

OPRACOWANIE WYNIKÓW

1. Wykreślenie przebiegów zależności amplitudy drgań od położenia wzdłuż struny

poziomej

1. Wartości średnie oraz odpowiadające im odchylenie standardowe długości i średnicy strun.

1. Długość struny L

$$\overset{\overline{}}{L} = \frac{1101 + 1095 + 1099 + 1103 + 1104}{5} = 1100,4\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack = \mathbf{1,1}\mathbf{004}\mathbf{\lbrack m\rbrack}$$

$$\sigma = \sqrt{\frac{51,2}{20}} = \sqrt{2,25} = 1,6\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack = 0,0016\lbrack m\rbrack$$

Niepewność wyniku pojedynczego pomiaru wynosi Δ=1[mm]=0,001[m]

i jest to dokładność używanej linijki

$$\sigma_{c} = \sqrt{\Delta^{2} + \sigma^{2}}$$

$$\sigma = \sqrt{1^{2}*{1,6}^{2}}\mathbf{= 0,0019}$$

L=(1, 1004±0, 0019)[m]

1. Średnica struny 2r

$$\overset{\overline{}}{2r} = \frac{0,3 + 0,29 + 0,305 + 0,31 + 0,295}{5} = 0,3\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack = \mathbf{0,3*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}\mathbf{\lbrack m\rbrack}$$

$$\sigma = \sqrt{\frac{0,00025}{20}} = 0,0035\left\lbrack mm \right\rbrack = 0,0035*10^{- 3}\lbrack m\rbrack$$

Niepewność wyniku pojedynczego pomiaru wynosi Δ = 1 * 10⁻⁶[m]

i jest to dokładność używanego mikrometru

1μ=0,001[mm]

$$\sigma_{c} = \sqrt{\Delta^{2} + \sigma^{2}}$$

$$\sigma_{c} = \sqrt{{0,0035}^{2}*{0,001}^{2}} = \mathbf{0,00364}$$

2r=(0,00003±0, 00364)[m]

1. Obliczenie siły napinającej i jej niepewności

1. Siła napinająca

$$T = \frac{m*g*w}{r} = \left\lbrack \frac{kg*m}{s^{2}} \right\rbrack$$

gdzie:

m - masa odważnika

w - odległość szalki od początku dźwigni

g = 9,81 [m/s²] - przyspieszenie grawitacyjne

R = 0,03 [m] - promień bloczka, do którego przymocowana jest struna

Dla n=1

$$T = \frac{1*9,81*0,067}{0,03} = 22,89\ \lbrack N\rbrack$$

Dla n=2

$$T = \frac{0,1*9,81*0,026}{0,03} = 0,850\lbrack N\rbrack$$

Dla n=3

$$T = \frac{0,02*9,81*0,086}{0,03} = 0,562\lbrack N\rbrack$$

Dla n=4

$$T = \frac{0,005*9,81*0,091}{0,03} = 0,149\lbrack N\rbrack$$

1. Niepewność siły napinającej

$$T = \frac{m*g*w}{r}$$

T=m*g*w*R^-1

lnT = lnm + lng + lnw + |−lnR|

$$\frac{1}{T}*\Delta T = \frac{1}{m}*\Delta m + \frac{1}{g}*\Delta g + \frac{1}{w}*\Delta w + |\frac{- 1}{R}*\Delta R|$$

$$\Delta T = \left( \frac{1}{m}*\Delta m + \frac{1}{g}*\Delta g + \frac{1}{w}*\Delta w + \left| \frac{- 1}{R} \right|*\Delta R \right)*T$$

Ponieważ Δg = 0 ΔR = 0, otrzymujemy następujące równanie:

$$\Delta T = \left( \frac{1}{m}*\Delta m + \frac{1}{w}*\Delta w \right)*T$$

Gdzie:

Δw= 1[mm]=0,001[m]

Δm=1[g]= 0,001[kg]

Dla n=1

$$\Delta T = \left( \frac{1}{1}*0,001*\frac{1}{0,07} \right)*22,89 = 0,35\lbrack N\rbrack$$

Dla n=2

$$\Delta T = \left( \frac{1}{0,1}*0,001 + \frac{1}{0,026}*0,001 \right)*0,850 = 0,041\lbrack N\rbrack$$

Dla n=3

$$\Delta T = \left( \frac{1}{0,02}*0,001 + \frac{1}{0,086}*0,001 \right)*0,562 = 0,035\lbrack N\rbrack$$

Dla n=4

$$\Delta T = \left( \frac{1}{0,005}*0,001 + \frac{1}{0,091}*0,001 \right)*0,149 = 0,031\lbrack N\rbrack$$

T₁=(22, 89 ± 00, 35)[N]

T₂=(0, 850 ± 0, 41)[N]

T₃=(0, 562 ± 0, 035)[N]

T₄=(0, 143 ± 0,031)[N]

1. Sporządzenie wykresu zależności liczby obserwowanych połówek długości fali od odwrotności pierwiastka siły napinającej

Dla n=1

$$\frac{1}{\sqrt{T}} = \frac{1}{\sqrt{22,89}} = 0,21$$

Dla n=2

$$\frac{1}{\sqrt{T}} = \frac{1}{\sqrt{0,850}} = 1,08$$

Dla n=3

$$\frac{1}{\sqrt{T}} = \frac{1}{\sqrt{0,562}} = 1,33$$

Dla n=4

$$\frac{1}{\sqrt{T}} = \frac{1}{\sqrt{0,149}} = 2,59$$

Liczba połówek długości fali w strunie- n	1/T^1/2 [1/N^1/2]	T[N]
1	0,21	22,89
2	1,08	0,850
3	1,33	0,562
4	2,56	0,149

1. Wyznaczenie parametrów kierunkowych prostej aproksymującej zależność $\mathbf{n = f(1/}\sqrt{\mathbf{T}}$

$$\overset{\overline{}}{a} = \frac{5,18*10 - 4*16,6}{26,83 - 4*9,533} = \mathbf{1,292}$$

$$\overset{\overline{}}{b} = \frac{5,18*16,6 - 10*9,533}{26,83 - 4*9,533} = \mathbf{0,827}$$

$$\sum_{i = 1}^{n}{d_{i}^{2} = 30 - 1,292*16,6 - 0,827*10 = \mathbf{0,283}}$$

$$S_{a} = \sqrt{\frac{1}{2}*0,283}*\sqrt{\frac{4}{4*9,533 - 26,83}} = \mathbf{0,224}$$

$$S_{b} = \sqrt{\frac{1}{2}*0,283}*\sqrt{\frac{9,533}{4*9,533 - 26,83}} = \mathbf{0,350}$$

Prosta aproksymująca $n = a\left( \frac{1}{\sqrt{T}} \right) + b$ ma następujące współczynniki kierunkowe

$$\mathbf{a =}\left( \mathbf{1,292 \pm 0,224} \right)\mathbf{\lbrack}\sqrt{\mathbf{N}}\mathbf{\rbrack}$$

$$\mathbf{b =}\left( \mathbf{0,827 \pm 0,350} \right)\mathbf{\lbrack}\sqrt{\mathbf{N}}\mathbf{\rbrack}$$

6.Wyznaczenie gęstości masy ρ badanej struny.

Porównując wzór

oraz prostą aproksymującą

otrzymujemy

Wzór na gęstość masy materiału strumy można wyrazić:

gdzie:

- promień struny

v = 50[Hz] – częstotliwość wymuszonych drgań

- współczynnik proporcjonalności

-długość struny

Niepewność wyznaczania gęstości struny:

Gęstość struny wynosi :

Obliczamy pole przekroju struny:

S=Пr² [m²]

gdzie:

-przekrój struny

7.Wyznaczanie prędkości v propagacji fal w badanej strunie dla różnych sił napinających.

Wzór na prędkość propagacji fali:

gdzie:

T- siła napinająca [N]

-gęstość struny

-pole przekroju struny

Dla n=1

Dla n=2

Dla n=3

Dla n=4

Niepewność wyznaczenia prędkości fali:

Dla n=1

Dla n=2

Dla n=3

Dla n=4

Wartości prędkości fali dla różnych sił napinających zawiera tabela:

Liczba połówek długości fali w strunie - n	Prędkość v [m/s]	Δv[m/s]	T[N]
1	12,87	4,49	22,89
2	2,48	0,87	0,850
3	2,01	0,70	0,562
4	1,04	0,36	0,149

Porównanie wyznaczonej gęstości struny z danymi tablicowymi:

- gęstość tablicowa

-gęstość struny wyznaczona

%

=73,96

Porównanie otrzymanej wartości z danymi tablicowymi dało błąd względny Δ=73,96%

Zestawienie wyników

2r=(0, 3 ± 0, 00364)*10⁻³[m]

L=(1, 1 ± 0, 0019)[m]

T₁=(22, 89 ± 00, 35)[N]

T₂=(0, 850 ± 0, 41)[N]

T₃=(0, 562 ± 0, 035)[N]

T₄=(0, 143 ± 0, 00314)[N]

$\mathbf{a =}\left( \mathbf{1,292 \pm 0,224} \right)\mathbf{\lbrack}\sqrt{\mathbf{N}}\mathbf{\rbrack}$

$$\mathbf{\ \ \ b =}\left( \mathbf{0,827 \pm 0,350} \right)\mathbf{\lbrack}\sqrt{\mathbf{N}}\mathbf{\rbrack}$$

$\mathbf{\ \ \ \ \rho =}\left( \mathbf{1,953 \pm 1,362} \right)\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}} \right\rbrack$

WNIOSKI

1. Na podstawie wykresu zależności liczby obserwowanych połówek długości fali od odwrotności pierwiastka siły napinającej wnioskujemy, że zależność ta jest liniowa.

2. Z porównania wyznaczonej wartości gęstości masy struny z wartością tablicową uzyskaliśmy błąd względny wynoszący Δ = 74 %. Tak duża wartość błędu może być wynikiem superpozycji niepewności wartości użytych do wyznaczenia gęstości masy struny. Duży wpływ może mieć niepewność wyznaczenia współczynników prostej aproksymującej .

3. Prędkość propagacji fali rośnie wraz ze wzrostem siły napinającej, a maleje przy wzroście liczby obserwowanych połówek fali.