Pomiar temperaturowej zależności współczynnika przewodzenia ciepła λ
1. Cel i zakres ćwiczenia
Proces przewodzenia ciepła polega na przenoszeniu energii cieplnej w układzie wykazującym różnicę temperatury. Proces ten, charakterystyczny przede wszystkim dla ciał stałych, może zachodzić wewnątrz jednego ośrodka lub pomiędzy pozostającymi w kontakcie różnymi ośrodkami, o ile występuje różnica temperatury.
2. Metody pomiaru współczynnika przewodzenia ciepła λ
Podstawowym prawem opisującym przewodzenie ciepła jest prawo Fouriera, wg którego gęstość przewodzonego strumienia ciepła jest wprost proporcjonalna do gradientu temperatury. W warunkach ustalonego przepływu ciepła prawo Fouriera zapisuje się w postaci:
(1)
gdzie:
- współczynnik proporcjonalności, zwany współczynnikiem przewodzenia ciepła lub przewodnością cieplną, [W/(m K)],
- gradient temperatury w kierunku prostopadłym do powierzchni izotermicznej, [K/m].
Stosowane metody pomiaru współczynnika przewodzenia ciepła materiałów izolacyjnych można ogólnie podzielić na dwie grupy:
- grupa, w której podczas pomiaru realizuje się ustalony, promieniowy przepływ ciepła przez próbkę cylindryczną,
- grupa, w której podczas pomiaru realizuje się ustalony przepływ ciepła przez próbkę w kształcie płyty.
Ogólny schemat kilku metod pierwszej grupy przedstawiono na Rys. 1:
a - metoda, w której cylindryczna próbka, traktowana jako nieskończonej długości, nagrzewana jest centralnym grzejnikiem, umieszczonym w osi próbki; w czasie pomiaru rejestruje się moc wydzielaną przez grzejnik i temperaturę w poprzecznym przekroju próbki, w różnych odległościach od osi układu,
b - metoda, w której cylindryczna próbka posiada izolację (lub dodatkowe dogrzewanie) czołowych powierzchni dla zminimalizowania osiowego przeływu ciepła; w czasie pomiaru rejestruje się moc wydzieloną przez grzejnik i temperaturę w przekroju poprzecznym próbki , w różnych odległościach od osi układu,
c - metoda porównawcza, w której dwie koncentryczne, cylindryczne próbki o znanym i nieznanym współczynniku przewodzenia ciepła nagrzewane są centralnym źródłem ciepła, umieszczonym w osi układu; w czasie pomiaru rejestruje się moc wydzieloną przez grzejnik oraz temperaturę w przekroju poprzecznym obu próbek, w różnych odległościach od osi układu.
Rys. 1. Schematy metod pomiaru współczynnika przewodzenia ciepła
Równanie ujmujące zależność współczynnika przewodzenia ciepła od rozkładu temperatury w próbce przy promieniowym przepływie ciepła , w stanie ustalonym, bez wewnętrznego źródła, bez osiowego przepływu ciepła oraz dla materiału homogenicznego i izotropowego - może być napisane w następującej postaci:
(2)
lub:
(3)
gdzie: T - temperatura w odległości r od osi próbki.
Dwukrotne całkowanie równania (4) prowadzi do następujących zależności:
(4)
lub
(5)
oraz (6)
gdzie: C1 i C2 - stałe całkowania.
Stałe całkowania C1 i C2 , zgodnie ze schematem pola temperatury przedstawionego na Rys. 2, oblicza się z zależności:
dla T = Tw r = rw dla T = Tz r = rz
(7)
(8)
Ostatecznie wzór na pole temperatury wewnątrz próbki, po wstawieniu do (6) zależności (7) i (8), przyjmuje postać:
Rys. 2. Pole temperatury przewodzącej ciepło ścianki cylindrycznej
(9)
lub w postaci bezwymiarowej:
(10)
Elementarną ilość ciepła, która przepływa przez próbkę w jednostce czasu, umuje wzór:
(11)
gdzie: l: długość próbki, m.
Po wykonaniu całkowania (12) i przekształceniu otrzymuje się następującą zależność:
(12)
gdzie q - jest ilością ciepła, która w ustalonym stanie przepływa w jednostce czasu przez próbkę próbkę o długości l, posiadającą na wewnętrznej powierzchni temperaturę Tw , a na zewnętrznej powierzchni temperaturę Tz .
3.Układ pomiarowy
Schemat aparatu stosowanego w ćwiczeniu przedstawia Rys. 3. Badana próbka (1) umieszczona jest w stalowym cylindrze (2), przymocowanym do statywu (3). W osi próbki znajduje się grzejnik (4), którym jest silit posiadający w części grzejnej wymiary 8 x 100 mm. Czołowe powierzchnie próbki izolowane są wkładkami (5), wykonanymi z materiału będącego dobrym izolatorem ciepła. Napięcie prądu Uz zasilającego silit doprowadzone jest do końcówek zasilających 14 x 90 mm (6) za pomocą odpowiednich zacisków (7). Wewnątrz próbki rozmieszczone są termoelementy, których spoiny pomiarowe (9) znajdują się w zagęszczonym proszku Al2O3 (10). Termoelementy izolowane są osłonkami szamotowymi (11). Całość zamontowana jest w rurkach kwarcowych, 5 / 3 mm (12). Schemat rozmieszczenia termoelementów w próbce przedstawia Rys. 4. Silit zasilany jest poprzez stabilizator napięcia, transformator oraz autotransformator. Moc prądu zasilającego grzejnik mierzona jest poprzez pomiar natężenia i napięcia prądu zasilającego.
4. Opracowanie wyników pomiaru
4.1. Średnia wartość współczynnika przewodzenia ciepła
Dla warunków ćwiczenia - Rys. 3, wzór (12) przyjmuje postać:
Rys. 3. Schemat aparatu do oznaczania współczynnika przewodzenia ciepła
Rys. 4a. Schemat rozmieszczenia termoelementów w próbce
Rys. 4b. Schemat do określania wartości “n” wykładnika paraboli
(13)
gdzie:
- średnia wartość współczynnika przewodzenia ciepła dla zakresu temperatury , mierzonej w stanie ustalonym w odległości od osi aparatu,
Pp - moc prądu wydzielającego się w grzejnej części silitu, W.
Ponieważ w czasie pomiaru mierzona jest moc prądu doprowadzanego do końcówek przyłączeniowych, należy przeprowadzić cechowanie grzejnika dla określenia mocy prądu wydzielającej się na długości próbki:
Pp = Ku Pz Pz = Uz I (14)
gdzie:
Uz - napięcie doprowadzone do końcówek przyłączeniowych silitu,
Up - napięcie wydzielające się w części grzejnej silitu, równej długości próbki,
I - natężenie prądu przepływającego przez silit.
Po uwzględnieniu (14) wzór (13) przyjmuje postać:
( (15)
lub
(16)
gdzie:
(17)
Dla poszczególnych zakresów temperatury, zgodnie z oznaczeniami na Rys. 4, współczynnik Kλij obliczamy z zależności:
(18)
Po uwzględnieniu zależności (18) otrzymujemy następujące wzory robocze do obliczania średnich wartości współczynnika przewodzenia ciepła odpowiadających spadkom temperatury :
(19)
4.2. Średnia wartość temperatury dla zakresu Ti-Tj
Średnie wartości temperatury, którym odpowiadają średnie wartości współczynnika przewodzenia ciepła , oblicza się w oparciu o założenie parabolicznego rozkładu temperatury w próbce [1]:
(20)
(21)
n - wykładnik paraboli opisującej pole temperatury w ustalonym stanie w przekroju badanej próbki.
Wartość wykładnika "n" określa się metodą planimetryczną, zgodnie ze schematem zamieszczonym na Rys. 4.
Dla kolejnych zakresów temperatury współczynnik obliczamy ze wzorów:
(22)
Po podstawieniu zależności (22) do (21) wzory robocze do obliczania średnich całkowych wartości temperatury odpowiadających średnim wartościom współczynnika przewodzenia ciepła przyjmą postać:
(23)
5. Wykonanie ćwiczenia
5.1. Przygotowanie próbki
Przygotowanie próbki do pomiaru odbywa się w następującej kolejności :
a) przygotowanie termoelementów oraz ich zamontowanie w rurkach kwarcowych zgodnie z Rys. 3 i 4a,
b) wykonanie cechowania silitu, który będzie stosowany podczas ćwiczenia,
c) odważenie odpowiedniej ilości próbki stosownie do założonego stopnia zagęszczenia próbki,
d) zamontowanie termoelementów i silitu oraz zagęszczenie próbki w aparacie,
e) zamontowanie wkładek izolacyjnych; przyłączenie zapięcia do końcówek zasilających silitu; przyłączenie termoelementów do miernika napięcia temperatury.
5.2. Przeprowadzenie pomiaru
Nagrzewanie próbki przeprowadza się przy pięciu wartościach mocy prądu zasilającego silit. Dla każdej mocy Pz nagrzewanie prowadzi się do momentu ustalenia się pola temperatury w próbce. Po odczytaniu wartości temperatury , pomiar prowadzi się dla kolejnej, zwiększonej mocy prądu grzejnego. Po zakończeniu pomiaru, ostygnięciu próbki i rozmontowaniu aparatu należy ponownie wykonać cechowanie silitu, w związku z możliwością zmiany charakterystyki prądowej silitu w czasie ćwiczenia.
5.3. Przygotowanie pomiaru
Obliczenia, których wyniki zapisuje się w arkuszu obliczeniowym, wykonuje się w następującej kolejności :
a) obliczenie współczynnika mocy prądu Ku, w oparciu o cechowanie silitu,
b) wykreślenie pola temperatury oraz obliczenie wykładnika paraboli, opisującej pole temperatury w przekroju próbki , dla każdej z pięciu wartości mocy prądu grzejnego,
c) obliczenie współczynników do wzorów roboczych na średnią całkową wartość temperatury z zakresu oraz na odpowiadającą temu zakresowi średnią wartość współczynnika przewodzenia ciepła ,
e) wykreślne przedstawienie zależności .
LITERATURA
1. Longa W. : Krzepnięcie odlewów w kokilach. Katowice, Śląsk, 1978. Rozdz. 6, p. 1.4.4 , str. 518.