Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.01.2013r
Wydział Geoinżynierii
Górnictwa i Geologii
HYDROGEOLOGIA
SPRAWOZDANIE NR 6
Siatka hydrodynamiczna
Skład Grupy:
Joanna Szajowska
Paulina Pązik
Katarzyna Wołoszyn
Tomasz Stoparek
Krzysztof Górowski
Jacek Nowakowski
I. Wstęp teoretyczny
Siatka hydrodynamiczna jest to układ linii prądu i powierzchni ekwipotencjalnych, umożliwia ilościową analizę przepływu wód podziemnych, jest podstawa do obliczeń natężenia przepływu.
Powyższe związki są związkami Cauchy-Riemanna i oznaczają, że rodziny krzywych:
są wzajemnie ortogonalne. Układ tych linii w przypadku zagadnień przepływu wód podziemnych nazywamy siatką hydrodynamiczną przepływu. Rodzina krzywych przedstawia linie prądu (wektor prędkości jest styczny do linii prądu). Z kolei rodzina krzywych przedstawia powierzchnie ekwipotencjalne.
Rozwiązanie układu równań:
lub
pozwala nam określić siatkę hydrodynamiczną i obliczyć wielkości związane z przepływem wód podziemnych jak np. współczynnik filtracji, czy współczynnik porowatości.
Rozwiązanie układu równań można dokonać metodą graficzną, korzystając z własności siatki hydrodynamicznej. Polega ona na tym, że siatkę hydrodynamiczną wykreśla się od ręki, traktując tak otrzymany obraz za pierwsze przybliżenie rozwiązania. Następnie siatkę poprawia się tak długo, aż spełni ona następujące warunki:
linie prądu i linie ekwipotencjalne są ortogonalne,
każdy wycinek siatki będzie „kwadratowy”, tzn. średni rozstaw linii prądu i powierzchni ekwipotencjalnych będzie taki sam.
Dla tak skonstruowanej siatki hydrodynamicznej straty wysokości hydraulicznej w każdym kwadracie będą miały taką samą wartość.
Bardzo istotną właściwością siatki jest fakt, że przepływ, przez dowolny wycinek siatki w obrębie tego samego strumienia, ma taką samą wielkość.
Przy znanym wydatku wody Q, głębokości strumienia s, różnicy wysokości hydraulicznych ΔH i wymiarach warstwy wodonośnej, można określić współczynnik filtracji k ze wzoru:
.
W przypadku siatki kwadratowej:
więc współczynnik filtracji obliczymy ze wzoru:
.
Na podstawie tego rozwiązania, można też określić czas przepływu wody tj w poszczególnych strumieniach. W tym celu wprowadzimy pojęcie średniej prędkości rzeczywistej (prędkości porowej) u. Jest ona związana z prędkością filtracji v zależnością:
gdzie n oznacza współczynnik porowatości. Czas przepływu wody w danym strumieniu tj określa wzór:
gdzie lj oznacza długość drogi filtracji wzdłuż j- tego strumienia.
W przypadku, gdy znany jest czas przepływu cząstek wody wzdłuż j- tego strumienia oraz współczynnik filtracji k, różnica ΔH, oraz geometria j- tego strumienia- można obliczyć współczynnik porowatości ze wzoru:
.
II. Opis badania
Rys. 1. Wymiary modelu do badania płaskiego przepływu wód podziemnych.
III. Obliczenia
Tab.1 Wyniki badań wydatku wody oraz czasu przepływu barwnika na modelu
| Objętość przepływającej wody V | Czas pomiaru objętości przepływającej wody t | Wydatek wody Q | Nr linii prądu | Czas przepływu barwnika t |
|---|---|---|---|---|
| cm3 | s | cm3/s | s | |
| 1000 | 243 | 4,12 | I | 237 |
| II | 548 | |||
| III | 953 |
Tab. 1.
Nr wstęgi j |
lj,i [cm] bj,i [cm] lj,i/bj,i [-] lj,i·bj,i [cm2] |
Nr wycinka w danej wstędze i | Suma | Przepływ Qj = s·qj w j-tym strumieniu [cm3/s] |
Czas przepływu tj w j-tym strumieniu [s] |
|---|---|---|---|---|---|
| i = 1 | i = 2 | i = 3 | i = 4 | ||
| j = 1 | l1,i | 2,5 | 6,0 | 5,0 | 2,5 |
| b1,i | 5,0 | 4,0 | 3,0 | 1,0 | |
| l1,i/b1,i | 0,5 | 1,5 | 1,6 | 2,5 | |
| l1,i·b1,i | 12,5 | 24,0 | 15,0 | 2,5 |