Jak obliczyć wysokość drzewa?

Tales znalazł sposób na zmierzenie wysokości piramidy Cheopsa w Gizie.

Wybudowana 2 tysiące lat temu była jedną z budowli, której wysokości nie potrafiono zmierzyć . Uczony z pomocą egipskiego chłopa zmierzył w bardzo prosty sposób wysokość piramidy. Stwierdził on, że stosunek pomiędzy nim, a jego cieniem jest dokładnie taki sam, jak między piramidą, a jej cieniem. Następnie wyciągnął z tego taki wniosek:

W chwili, w której mój cień będzie równy mojej wysokości, cień piramidy będzie równy jej wysokości.

Na szczęście nie trzeba wyczekiwać momentu, gdy cień drzewa jest równy jego wysokości, a można skorzystać z proporcjonalności długości cienia do jego wysokości.

Jak obliczyć wysokość drzewa. Przykładowe pomiary.

Musisz ustalić tylko swój wzrost, długość twojego cienia oraz długość cienia drzewa. Następnie korzystając z faktu, że stosunek twojego wzrostu, do długości twojego cienia jest takim sam, jak stosunek wysokości drzewa do długości jego cienia, musisz ułożyć odpowiednią proporcję i wyliczyć z niej wysokość drzewa.

Sprawdźmy zastosowanie teorii w praktyce…

Zadaniem waszej grupy jest wybór trzech różnych obiektów (np. drzewa, słup, maszt, itp.) i obliczenie ich wysokość stosując podaną zasadę.

Obiekt nr 1: …………………………………………………………………………………………………………………………………………

Długość twojego cienia: …………………… Twój wzrost: ……………………

Długość cienia drzewa: …………………… Wysokość drzewa: ……………………

Proporcja i obliczenia:

Obiekt nr 2: …………………………………………………………………………………………………………………………………………

Długość twojego cienia: …………………… Twój wzrost: ……………………

Długość cienia drzewa: …………………… Wysokość drzewa: ……………………

Proporcja i obliczenia:

Obiekt nr 3: …………………………………………………………………………………………………………………………………………

Długość twojego cienia: …………………… Twój wzrost: ……………………

Długość cienia drzewa: …………………… Wysokość drzewa: ……………………

Proporcja i obliczenia:

Jak sądzisz, jakie może być inne zastosowanie podanej metody pomiaru?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Jak wyznaczyć odległość od obiektu?

Poznana przez Was metoda obliczania wysokości drzew, słupów, piramid, itp. prezentuje wykorzystanie twierdzenia Talesa oraz własności figur podobnych.

Tales z Miletu wykorzystywał swoje twierdzenie również do ustalania odległości statków od brzegu. Jego pomiar można opisać następująco:

Tales staną na brzegu w punkcie M, leżącym najbliżej statku N i przeszedł wzdłuż brzegu 40 m – do punktu A. Tam wbił tyczkę i poszedł 10 metrów dalej – do punktu B. Stamtąd szedł w głąb lądu do takiego punktu C, z którego statek i wbitą tyczkę widać w jednej linii. Oblicz jak daleko od brzegu był statek, jeśli z punktu B do punktu C Tales szedł 24 m.

Metoda ta to prosty sposób na obliczenie odległości od daleko znajdujących się obiektów. Oczywiście nie trzeba trzymać się dokładnie długości 40 m i 10 m.

Sprawdźmy zastosowanie teorii w praktyce…

Zadaniem waszej grupy jest wybór trzech różnych obiektów, wykonanie odpowiednich pomiarów, naniesienie ich na schematyczny rysunek i obliczenie odległości stosując podaną zasadę.

Obiekt nr 1: …………………………………………………………………………………………………………………………………………

Obliczenia:

Obiekt nr 2: …………………………………………………………………………………………………………………………………………

Obliczenia:

Obiekt nr 3: …………………………………………………………………………………………………………………………………………

Obliczenia:

Jak wyznaczyć wiek drzewa?

Jednym ze znanych sposobów wyznaczenia wieku drzewa jest policzenie słoi. Ta metoda niestety wymaga ścięcia drzewa. A co jeśli chcemy wyznaczyć wiek rosnącego drzewa? Wymyślono kilka sposobów obliczania wieku drzewa na podstawie jego średnicy. Niestety wszystkie podają tylko przybliżony wynik.

Poniżej trzy najpopularniejsze metody.

Metoda 1

Wzór na obliczenie średniego wieku drzew (należy zmierzyć obwód drzewa na wysokości 130 cm)

$$\frac{\frac{obwod\ (cm)}{2} + \frac{obwod\ (cm)}{3}}{2} = wiek\ drzewa$$

Metoda 2

TABELA WIEKOWA DRZEW

Opracowanie prof. dr Longin Majdecki 1980/1986

W tabeli podane są pierśnice drzew dla poszczególnych gatunków w danym wieku.

Gatunek	Wiek drzewa
nazwa polska	nazwa łacińska	10
Topola biała Topola Topola czarna	Populus alba Populus robusta Populus nigra	47
Lipa drobnolistna	Tilia cordata Tilia platyphyllos	-
Grab zwyczajny Głóg Buk pospolity	Carpinus betulus Crataegus Fagus silvatica	-
Akacja biała (grochodrzew)	Robinia pseudoacacia	22
Sosna zwyczajna	Pinus silvestris	15
Klon zwyczajny Klon jawor Platan klonolistny	Acer platanoides Acer pseudoplatanus Platanus acerifolia	-
Jesion wyniosły	Fraxinus excelsior	-
Kasztanowiec zwyczajny	Aesculus hippocastanum	-
Dąb szypułkowy Dąb	Quercus robur Quercus sessilis	14
Świerk pospolity Świerk kłujący	Picea excelsa Picea pungens	-
Modrzew europejski	Larix decidua	-
Klon jesionolistny Wierzba biała	Acer negundo Salix alba	-
Brzoza brodawkowata Brzoza omszona	Betula verrucosa Betula pubescens	19
Wiąz szypułkowy	Ulmus laevis	28
Żywotnik olbrzymi	Thuja occidentalis	-
Olsza szara Czeremcha zwyczajna	Alnus glutinosa Prunus padus	26

Przykład:
kasztanowiec - zmierzony obwód drzewa na wys. = 100cm

Obwód – wiek 20 lat

Obwód – wiek: 100x20/63=31,7

Wiek kasztanowca o obwodzie wynosi ok. 32 lat

Metoda 3

Odczytywanie wieku drzewa z wykresu. Obwód pnia mierzymy w centymetrach na wysokości 1,3 metra nad ziemią

Sprawdźmy zastosowanie teorii w praktyce…

Zadaniem waszej grupy jest wybór dwóch różnych gatunków drzew, dokonanie odpowiednich pomiarów i wyznaczenie ich wieku każdą z trzech podanych metod.

Drzewo nr 1

Gatunek drzewa: ………………………………………………………………………………

Obwód pnia na wysokości 130 cm: …………………………………………………..

Metoda 1	Metoda 2	Metoda 3
Potrzebne obliczenia:	Potrzebne obliczenia:	Potrzebne obliczenia:
Wynik:	Wynik:	Wynik:

Drzewo nr 2

Gatunek drzewa: ………………………………………………………………………………

Obwód pnia na wysokości 130 cm: …………………………………………………..

Metoda 1	Metoda 2	Metoda 3
Potrzebne obliczenia:	Potrzebne obliczenia:	Potrzebne obliczenia:
Wynik:	Wynik:	Wynik:

Ile soli jest w solance?

Stężenie procentowe (masowe) – C_p – określa stosunek ilości substancji rozpuszczonej do ilości roztworu. Wyrażane jest w %. Liczbowo stężenie procentowe jest równe liczbie gramów substancji rozpuszczonej, zawartej w 100 g roztworu. Jeżeli solanka jest 6% to znaczy, że w 100 g tej solanki znajduje się 6 g czystej soli
i 94 g wody. Każdy roztwór składa się z substancji rozpuszczonej i rozpuszczalnika (najczęściej wody ). Podczas rozwiązywania zadań korzystamy ze wzorów:

$$C_{p} = \frac{m_{s}}{m_{r}} \bullet 100\% = \frac{m_{s}}{m_{s} + m_{\text{rozp}}} \bullet 100\%$$

gdzie:

C_p – stężenie procentowe [%]

m_s – masa substancji rozpuszczanej [g]

m_r – masa roztworu [g]

m_rozp – masa rozpuszczalnika (najczęściej wody) [g]

Zadanie do wykonania:

Zadaniem waszej grupy jest ustalenie, która z poniższych solanek ma największe stężenie procentowe. Pamiętajcie, że musicie odnieść masę całej soli do masy całego roztworu (woda + sól).

Solanka 1

Zmieszano ze sobą 12 g soli i 100 g wody.

Solanka 2

Do 120 g 5% solanki dosypano 7 g soli.

Solanka 3

Od 120 g 5% solanki odparowano 60g wody.

Solanka 4

Zmieszano 60 g solanki 5% i 25 g solanki 25%

Obliczenia:

Pomyśl jakąś liczbę…

Chyba każdy z was spotkał się z zagadką, która zaczyna się od tych słów.

Oto przykłady:

Zagadka 1

Wymyśl sobie liczbę od 2 do 9, pomnóż ją przez 9 następnie dodaj cyfry tej liczby (np. jak wyszło 75 to 7+5=12) potem odejmij 5 i wybierz kolejną literę z alfabetu ( jak 1 to A, 2-B, 3-C, 4-D, 5-F itd.) na tą literę podaj nazwę państwo w europie, potem na trzecią literę tego państwa wymyśl kolor następnie na drugą literę tego koloru wymyśl nazwę kwiatu.

Niech każdy z Was samodzielnie wykona podane polecenia. Jeśli każdy z Was ukończył i ma już nazwę państwa, koloru i kwiatu porównajcie swoje odpowiedzi.

	1 osoba	2 osoba	3 osoba	4 osoba	5 osoba	6 osoba
Państwo
Kolor
Kwiat
Liczba pomyślana na początku
Ile wyszło z obliczeń

Zastanówcie się dlaczego tak wyszło, prześledźcie wzajemnie swoje obliczenia i ustalcie wspólny wniosek.

WNIOSEK:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Zagadka 2

Obliczenia wykonajcie wspólnie.

Pomyśl sobie jakąś liczbę od 1 do 20, oblicz jej kwadrat, do którego dodaj potrojoną pomyślaną liczbę, otrzymany wynik podziel przez liczbę pomyślaną, a potem pomnóż przez 100, odejmij 300 i wynik pomnóż przez pomyślaną liczbę. Podaj mi wynik ostateczny, a natychmiast podam Ci pomyślaną liczbę

Wasz wynik	Pomyślana liczba (o nią zapytajcie nauczyciela)

Oto wyjaśnienie zagadki.

Śledząc kolejne polecenia z zagadki można zapisać je wyrażeniami algebraicznymi:

x − pomyslana liczba

$$(\frac{x^{2} + 3x}{x} \bullet 100 - 300) \bullet x$$

Jeśli to wyrażenie doprowadzimy do najprostszej postaci otrzymamy:

$$\left( \frac{x^{2} + 3x}{x} \bullet 100 - 300 \right) \bullet x = \left( \left( x + 3 \right) \bullet 100 - 300 \right) \bullet x = \left( 100x + 300 - 300 \right) \bullet x = 100x \bullet x = 100x^{2}$$

Żeby obliczyć początkową liczbę wystarczy zatem podzielić ja przez 100 i wyciągnąć pierwiastek.

$$\sqrt{\frac{100x^{2}}{100}} = x$$

Kluczem tego typu zagadek jest zatem dobieranie takich działań na wymyślonej liczbie, żeby po ich uproszczeniu w łatwy sposób można było obliczyć liczbę początkową.

Zadanie do wykonania:

Zadaniem waszej grupy jest wymyślenie podobnej zagadki. Zacznijcie od ułożenia wyrażenia algebraicznego, które po uproszczeniu przyjmie dogodną postać do wyliczenia początkowej, pomyślanej liczby. Następie wyrażenie algebraiczne zamieniamy w polecenia do wykonania. Wasza zagadka musi zawierać co najmniej 5 działań na wymyślonej liczbie.

Po jej wymyśleniu przetestujcie jej działanie na sobie. Ostateczny test i zaliczenie wykonania zadania będzie zastosowanie jej na prowadzącym zajęcia.

Do dzieła:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Statystyka w naszej grupie.

Średnie są statystykami stosowanymi jako tzw. miary tendencji centralnej, tzn. wskaźniki pokazujące w jakiś sposób "środek" rozkładu. "Środek" można zdefiniować na wiele sposobów, istnieje też wiele średnich.

Średnią arytmetyczną n liczb a₁, a₂, a₃, …,  a_n  nazywamy liczbę: $\frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + \ a_{n}\ \text{\ \ }}{n}$. Inaczej mówiąc jest to iloraz sumy liczb przez ich ilość.

Np. średnią arytmetyczną liczb 2,  2,  5,  7 jest $\frac{2 + 2 + 5 + 7}{4} = 4$

Średnią geometryczną n dodatnich liczb a₁, a₂, a₃, …,  a_n  nazywamy liczbę $\sqrt[n]{a_{1} \bullet a_{2} \bullet a_{3} \bullet \ldots \bullet \ a_{n}}$. Inaczej mówiące jest to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n liczb.

Np. średnią geometryczną liczb 2,  2,  5 i 7 jest $\sqrt[4]{2 \bullet 2 \bullet 5 \bullet 7} \approx 3,44$

Medianą uporządkowanego rosnącego ciągu n danych liczb jest:

• Dla nieparzystej ilości liczb: środkowy wyraz ciągu;

Np. dla liczb 3,  5,  6,  1,  2,  4,  5 uporządkowany ciąg to: 1,  2,  3,  4,  5,  5,  6, a mediana (środkowy wyraz) to 4

• Dla parzystej ilości liczb: średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu.

Np. dla liczb 5,  1,  3,  4,  5,  2 uporządkowany ciąg to 1,  2,  3,  4,  5,  5, a mediana (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów) to $\frac{3 + 4}{2} = 3,5$

Zadanie do wykonania:

Zadaniem waszej grupy jest obliczenie kilku wskaźników statystycznych dotyczących was samych. Część z nich jest podana. Pozostałe musicie wymyśleć sami. Powodzenia!

Nazwa danych:	Wzrost	Długość dłoni	Rozmiar buta	…………………… ……………………	…………………… ……………………	…………………… ……………………
Dane
Średnia arytmetyczna
Średnia geometryczna
Mediana

Pytania Fermiego.

Enrico Fermi, włoski fizyk, laureat nagrody Nobla, lubił rozwiązywać problemy, w których trzeba było szacować różne dziwne wielkości. Oto kilka przykładów:

• ile kilogramów soli zjadamy w ciągu swojego życia?

• ile liści jest na wszystkich dębach świata?

• ile ważą wszystkie mrówki na świecie?

Takie pytania nazywane są pytaniami Fermiego (nawet jeśli to nie Fermi jest ich autorem). Aby znaleźć na nie odpowiedzi, czasami wystarczy odszukać odpowiednie dane i wykonać obliczenia. Często jednak danych potrzebnych do odpowiedzi na pytanie Fermiego nigdzie nie znajdziemy. Możemy wówczas je oszacować, przyjmując rozsądne założenia.

Np.

Jak duży basen należałoby zbudować, by pomieścić w nim tyle wody, ile wypijają w ciągu roku uczniowie klasy 1c?

Niezbędne dane ( w razie konieczności można je oszacować):

• liczba uczniów klasy 1c 24

• rok ma dni 365

• 15 - latek wypija przeciętnie 2,5 litra płynów dziennie

Obliczenia:

24 • 365 • 2, 5 = 21900 litrów (dm³) wypija 1c w ciągu roku,

Jeśli nasz basen miałby stałą głębokość 1,5 m (15 dm) to prostokąt jaki byłby jego podstawą musiałby mieć pole równe 21900 : 15 = 1460 dm² czyli mieć przykładowe wymiary około 3 m na 5 m.

Zadanie do wykonania:

Zadaniem dla Was jest odpowiedź na kilka pytań Fermiego dotyczących naszej grupy i tego wyjazdu. Potrzebne do wyliczeń dane znacie lub możecie je oszacować. Powodzenia!

Pytanie 1

Ile chleba zjadła nasza grupa podczas pobytu w ośrodku?

Potrzebne założenia:
Obliczenia:
Odpowiedź:

Pytanie 2 Ile wody zużyła nasza grupa podczas pobytu w ośrodku?

Potrzebne założenia:
Obliczenia:
Odpowiedź:

Pytanie 3 Jeśli za wypowiedziane słowo każdy dostawał by 1 grosz ile pieniędzy uzbierała by nasza grupa podczas wyjazdu?

Potrzebne założenia:
Obliczenia:
Odpowiedź:

Pytanie 4 Ile kroków (kilometrów) zrobiliśmy wszyscy razem podczas tego wyjazdu?

Potrzebne założenia:
Obliczenia:
Odpowiedź:

Samodzielnie wymyślcie 2 pytania Fermiego dotyczące tego wyjazdu.

Pytanie 5

………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….?

Potrzebne założenia:
Obliczenia:
Odpowiedź:

Pytanie 6

………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….?

Potrzebne założenia:
Obliczenia:
Odpowiedź: