STATYSTYKA MATEMATYCZNA

ROZKŁAD NORMALNY

Zmienna losowa ciągła X ma rozkład normalny o wartości średniej M i odchyleniu standardowym σ, co symbolicznie zapisujemy N(m,σ), jeśli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

_______________________________________________________________

ZADANIE 1

Wzrost dorosłych mężczyzn w Polsce podlega rozkładowi normalnemu N(172,9). Należy przedstawić graficznie postać funkcji gęstości tego rozkładu, a także przy σ = 6cm i 3cm.

Zakres zmiennej losowej X ustalić na podstawie reguły trzech sigm.

ZADANIE 2

Przedstawić graficznie funkcję gęstości i dystrybuantę rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1). Dystrybuanta tego rozkładu w programie MathCAD nosi nazwę cnorm( ).

ZADANIE 3

Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości średniej m = 5 i σ = 2 - N(5,2). Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń:

P(X<3), P(6<X<9), P(3<X<6).

ZADANIE 4

Przyjmuje się, że średnica zewnętrzna wykonywanych wałków stalowych ma rozkład zbliżony do normalnego o średniej 23mm i odchyleniu standardowym 0.6mm tj. N(23.0,0.6). Za dopuszczalne uznaje się wałki o średnicach 23.1 ± 1mm.

Wałki o średnicach mniejszych od dolnej granicy uznaje się za złom, wałki o średnicach wyższych od granicy górnej przeznacza się do obróbki powtórnej.

Proszę odpowiedzieć na następujące pytania:

1. Jaki jest procent złomu?

1. Jaki procent produkcji wymaga powtórnej obróbki?

2. Jaki będzie procent złomu i procent detali wymagających powtórnej obróbki, jeśli zmienić średnią średnicy zewnętrznej na 23.1mm?

ZADANIE 5

Automat produkuje kulki. Kulkę uważa się za prawidłową, jeśli odchylenie X średnicy kulki od projektowanego wymiaru jest mniejsze co do wartości bezwzględnej niż 0.7mm. Zakładając, że zmienna losowa X podlega rozkładowi normalnemu ze średnim odchyleniem standardowym σ = 0.4mm, należy obliczyć, ile będzie kulek prawidłowych wśród 100 wyprodukowanych.

ZADANIE 6

Automat produkuje detale. Sprawdzamy długość detali. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości średniej (długość projektowana) równej 50mm. W rzeczywistości długość detali jest nie mniejsza niż 32mm i nie większa niż 68mm.

Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że długość losowo wybranego detalu jest:

a. większa niż 50mm;

b. mniejsza niż 40mm.

ZADANIE 7

Dokonuje się pomiaru średnicy wału bez błędów systematycznych. Błędy losowe pomiaru X podlegają rozkładowi normalnemu z odchyleniem standardowym σ = 10mm. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że pomiar będzie przeprowadzony z błędem przekraczającym (co do wartości bezwzględnej) 15mm.