Ćwiczenie 1

Pomiar współczynnika filtracji ośrodka porowatego

I. Celem

ćwiczenia

jest

eksperymentalne

określenie

współczynnika

filtracji

wybranego ośrodka porowatego.

II. Wprowadzenie

Z filtracją do czynienia mamy wszędzie tam, gdzie występuje przepływ płynu przez

ośrodek porowaty. Ośrodkiem porowatym może być dowolny grunt, w którym istnieje

pusta (lub wypełniona cieczą) przestrzeń między ziarnami ciał stałych. Ruch cieczy w

ośrodku porowatym może odbywać się jedynie wtedy, gdy istnieje różnica ciśnień lub

różnica gęstości cieczy. Typowym przykładem przepływu cieczy przez ośrodek

porowaty jest ruch wód gruntowych, który nazywamy filtracją. Zjawisko filtracji

wykorzystuje się na przykład w mechanicznych oczyszczalniach wody, w których

zanieczyszczoną wodę przepuszcza się przez piasek.

Ruch wód gruntowych jest szczególnym przypadkiem przepływu cieczy przez

ośrodek porowaty. Własności filtracyjne zależą przede wszystkim od fizycznych cech

gruntu, takich jak porowatość, kształt ziaren, ich rodzaj, wielkość, sposób ułożenia itp.

Jeżeli woda wypełnia pory gruntu, to przy odpowiednich wielkościach porów może się

poruszać pod wpływem siły ciężkości lub też różnicy ciśnień wody i podlega oczywiście

opisowi za pomocą równań Naviera-Stokesa. Jednakże ruch wody odbywa się w porach i

szczelinach, tworzących często nieregularny, rozgałęziony i krzyżujący się układ kana-

lików, które mogą mieć również zmieniający się przekrój. Ponieważ określenie pręd-

kości przepływu w poszczególnych kanalikach jest bardzo trudne, często wręcz

niemożliwe, przyjmuje się uproszczenie polegające na wprowadzeniu pewnej umownej

uśrednionej prędkości przepływu, zwanej prędkością filtracji, określonej przez

wyrażenie:

v=

Q

F

(1.1)

gdzie: Q – natężenie przepływu rzeczywistego przez kanaliki gruntu,

F – całkowite pole powierzchni przekroju próbki.

1

czyli

F = Fp + Fz

(1.2)

gdzie: Fp – powierzchnia przekroju porów,

Fz – powierzchnia przekroju ziaren,

a więc:

v=

Q

Fp + Fz

(1.3)

Wprowadzając pojęcie współczynnika porowatości powierzchniowej:

nF =

gdzie: Vp – objętość porów,

Fp

Fp + Fz

=

Fp

F

≈

Vp

V

=n

(1.4)

V – objętość całkowita próbki,

n – współczynnik porowatości objętościowej

można ustalić zależność pomiędzy rzeczywistą średnią prędkością strumienia cieczy v’, a

prędkością filtracji v. Rzeczywista średnia prędkość strumienia cieczy przepływającej

przez pory gruntu wynosi:

v′ =

Dzieląc (1.3) i (1.5) stronami mamy:

Q

Fp

(1.5)

v Fp

= = nF = n

′ Fv

stąd:

v = n ⋅ v′

(1.6)

(1.7)

Prędkość filtracji v jest więc fikcyjną prędkością, różną od rzeczywistej prędkości

przepływu. Ciecz poruszałaby się z taką prędkością w przypadku gdyby z rury (rys.1.1)

usunięto grunt, a natężenie przepływu pozostało równe dawnemu Q. Prędkość filtracji

jest zatem mniejsza od rzeczywistej średniej prędkości, gdyż współczynnik porowatości

jest zawsze mniejszy od jedności.

Podstawowe prawo filtracji ustalił doświadczalnie Darcy. Można je wyjaśnić za

pomocą aparatury (rys.1.1), składającego się z pionowego naczynia cylindrycznego

zaopatrzonego w piezometry (2). Wewnątrz naczynie wypełnione jest gruntem (1),

2

podtrzymywanym od dołu siatką (3). Pod siatką znajduje się otwór w ściance cylindra,

odprowadzający wodę do kalibrowanego naczynia (4). Do górnej powierzchni

pionowego cylindra doprowadza się wodę. W trakcie badania zachowuje się stały

poziom doprowadzanej wody, co umożliwia przelew powyżej próbki gruntu (5).

Rys.1.1. Schemat przyrządu Darcy’ego do pomiaru współczynnika filtracji

1 – prbka gruntu, 2 – piezometry, 3 – siatka, 4 – naczynie pomiarowe, 5 – przelew

Po ustaleniu przepływu wody przez grunt (poziom wody w piezometrach nie

zmienia się w czasie), można określić spadek hydrauliczny I w postaci zależności:

∆h

L

I=

(1.8)

Gdzie L oznacza odległość pomiędzy piezometrami, a ∆h różnicę wysokości poziomów

piezometrycznych, Różnica poziomu wody w piezometrach świadczy o tym, że na

drodze przepływu wody przez grunt występują opory ruchu, równe stracie ciśnienia.

Mierząc objętościowe natężenie przepływu wody przez próbkę gruntu Darcy stwierdził,

że:

Q = F⋅k ⋅

∆h

L

(1.9)

Gdzie F jest powierzchnią przekroju poprzecznego próbki, a k współczynnikiem filtracji.

Ponieważ Q = v ⋅ F , więc prędkość filtracji wynosi

∆h

= k ⋅I

L

v =k⋅

(1.10)

3

Z równania (1.10) wynika, że prędkość filtracji jest liniowo zależna od spadku ciśnienia

(straty są wprost proporcjonalne do prędkości przepływu). Oznacza to, że prawo Darcy

jest słuszne jedynie dla przepływu laminarnego.

III. Wyznaczanie współczynnika filtracji

Współczynnik filtracji k zależy od rodzaju gruntu (jego uziarnienia), porowatości

i lepkości cieczy (a więc od jej temperatury). Ogólnie można stwierdzić, że im większe są

ziarna gruntu i im mniejsze jest ich zagęszczenie, tym większe wartości osiągnie

współczynnik filtracji. Jak wynika ze wzoru (1.10), współczynnik k ma wymiar

prędkości i w przypadku jednostkowego spadku hydraulicznego (I = 1), równy jest

prędkości filtracji. Miarodajna wartość współczynnika filtracji przyjmowana jest dla

cieczy o temperaturze T = 10oC. Jeżeli pomiar tego współczynnika przeprowadza się w

innych warunkach, to wówczas, korzystając z empirycznego wzoru Hazena, można

obliczyć współczynnik filtracji dla temperatury T = 10oC

k 10 =

kr

0,7 + 0,03 ⋅ T[o C]

(1.11)

gdzie kr – oznacza współczynnik filtracji określony w temperaturze T.

Ścisłe określenie wartości współczynnika filtracji sprawia wiele kłopotów.

Powoduje to złożona struktura gruntów, trudna do ujęcia matematycznego. W

naturalnym położeniu gruntowym, nawet w punktach znajdujących się blisko siebie,

mogą wystąpić duże różnice wartości tego współczynnika. Praktycznie współczynnik

filtracji określa się metodami polowymi, obliczeniowymi lub laboratoryjnymi.

Ze wzorów empirycznych najprostszymi znajdującymi zastosowanie w praktyce

są wzory:

–

–

Schlichtera

Hazena

g 2

k = 0,0105 d10 m3,3 ,



2

k = C ( 0,7 + 0,03T ) d10

(1.12)

(1.13)

gdzie: d10 - średnica miarodajna ziaren, d10 = 1,5 [mm]

 - kinematyczny współczynnik lepkości,  = 10−6 [m2/s]

m - porowatość objętościowa, m = 0, 35

T - temperatura wody w oC, T = 10 oC

C - stała

4

IV.

Przebieg ćwiczenia

Zasada działania stanowiska do pomiaru współczynnika filtracji k jest

analogiczna do zasady działania przyrządu zaproponowanego przez Darcy’ego. Schemat

stanowiska przedstawiono na rysunku 1.2. Zestaw pomiarowy składa się z pionowego

naczynia (5) w kształcie walca o stałym przekroju, wypełnionego badanym gruntem (6).

Próbka gruntu umieszczona jest między dwoma siatkami (7). Z boku walca dołączone są

rurki piezometryczne (1-4). Woda doprowadzana jest z instalacji wodociągowej (8),

natomiast wypływa z modelu do naczynia (9) o objętości V, za pomocą którego

mierzymy wydatek. Pomiar temperatury wody dokonuje się termometrem.

Rys.1.2. Schemat stanowiska pomiarowego współczynnika filtracji k

Sposób wykonania ćwiczenia

1. Przed rozpoczęciem badania należy piezometry odpowietrzyć.

2. Zmierzyć wielkość drogi filtracji ΔLi.

3. Otwarciem zaworu ustalić przepływ wody przez próbkę (zaczynając od

minimalnego).

4. Zmierzyć poziom zwierciadła wody w piezometrach.

5. Zmierzyć metodą wolumetryczną ilość wody przepływającej w czasie przez

kolumnę filtracyjną oraz obliczyć natężenie przepływu Q.

5

6. Zwiększając stopniowo natężenie przepływu wody przez złoże, wykonać pomiar

10-krotnie (10 serii), powtarzając 2-krotnie pomiary zwierciadła wody w

piezometrach dla danego położenia zaworu.

7. Zmierzyć temperaturę wody na odpływie.

8. Obliczyć wyniki pomiarów.

9. Sporządzić wykres zależności k = f ( Q ) , v = f ( I ) (wzór Darcy’ego).

10. Wartość

obliczonego

współczynnika

filtracji

k

porównać

z

danymi

literaturowymi oraz obliczonymi za pomocą wzorów empirycznych.

V. Bibliografia

1. Biernacki M., Burzyński K., Geringer J., Granatowicz J., Sawicki J.M., Wołoszyn E.

„Laboratorium z mechaniki płynów i hydrauliki”, Wydawnictwo Politechniki

Gdańskiej, Gdańsk 1995.

2. Bohdan T., Charun H., Ewertowska Z., Majka K., Sławecki J. „Ćwiczenia

laboratoryjne z mechaniki płynów”, Wydawnictwo Uczelniane Politechniki

Koszalińskiej, Koszalin 2001.

3. Filek K., Roszczynialski W., Wacławik J. „Laboratorium mechaniki płynów z

elementami pomiaroznawstwa”, Wydawnictwo AGH, Kraków 1990.

6

Karta pomiaru współczynnika filtracji

Imię i nazwisko studenta: 1 ………………………………………………………………………….…………….

2 ………………………………………………………………………….…………….

3 ………………………………………………………………….…………………….

4 ……………………………….……………………………………………………….

Rok studiów: ………………………………………

Data: …………………………………………………..

Grupa: ……………..…………………………………

Godzina: …………………………………………….

Temperatura otoczenia: ……………………...

Ciśnienie otoczenia: ……………………………

Rodzaj cieczy przepływającej przez ośrodek porowaty: woda

Rodzaj ośrodka porowatego: piasek (1,5 mm) Temperatura cieczy: 10oC

Średnica wewnętrzna cylindra: 38 mm

Długość odcinka ∆L: 150 mm

Tab.1.1. Zestawienie wyników pomiaru

Pomiary

seria, nr

1

I

2

1

II

2

1

III

2

1

IV

2

1

V

2

V

[cm3]

t

[s]

Q

[m3/s]

v

[m/s]

H1

[mm]

H2

[mm]

H3

[mm]

H4

[mm]

I1-2

I2-3

I3-4

Iśr

k

[m/s]

7